Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải hệ phương trình đối xứng

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 RẩN LUYỆN KỸ NĂNG CHO 
HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG 
 TRèNH ĐỐI XỨNG 
 Để cho tiết ụn tập đạt được hiệu quả cao, thỡ mỗi học sinh phải chuẩn bị 
bài tốt trước khi đến lớp đồng thời phải biết tớch cực, tự giỏc học tập, phải biết 
suy nghĩ tỡm tũi và sỏng tạo. Người giỏo viờn phải biết dẫn dắt học sinh biết 
phõn tớch đề bài, từ đú đi tỡm tũi lời giải đỳng và sỏng tạo, ngắn gọn. Muốn làm 
tốt khõu này giỏo viờn thiết kế một giỏo ỏn theo hướng tớch cực hoỏ hoạt động 
học tập, cụ thể tiến hành theo cỏc bước: 
I. BƯỚC CHUẨN BỊ : 
1) Nghiờn cứu nội dung cần ụn tập , cần truyền đạt: 
 Vạch ra mục tiờu của bài dạy, chọn lọc kiến thức cần ụn tập và chuẩn bị 
trước, lập phương ỏn kiểm tra nội dung kiến thức dựng cho tiết ụn tập. 
2)Chọn bài tập mẫu : 
 Chọn bài tập theo dụng ý nội dung cần ụn tập phự hợp với cỏc đối tượng 
học sinh nhằm củng cố kiến thức, rốn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rốn luyện tư duy 
thuật toỏn hay kiểm tra sự lĩnh hội của học sinh . 
3/Phõn phối thời gian cho mỗi hoạt động của thầy và trũ: 
 Cần phải phõn bố thời gian phự hợp với mỗi bài tập. Dự kiến thời gian 
cho mỗi học sinh giải bài tập trờn bảng. 
4) Bước chuẩn bị của trũ và thầy : 
4.1) Chuẩn bị của trũ : Cỏc kiến thức cần nắm 
4.1.1 Định lý Viột: 
 2
 ã Nếu phương trỡnh bậc hai ax + bx + c = 0 cú hai nghiệm x1, x2 thỡ: 
 ỡ b
 S= x + x = -
 ù 1 2 a
 ớ 
 c
 ùP= x. x =
 ợù 1 2 a
 ã Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 thỏa món x1+ x 2 = S và x1. x 2 = P thỡ x1, x2 
là nghiệm của phương trỡnh bậc hai; X2 - SX + P = 0. 
4.1.2 Hệ phương trỡnh đối xứng đối với hai ẩn x và y: 
 1. Phương trỡnh hai ẩn x và y được gọi là đối xứng nếu thay x bởi y; y 
bởi x thỡ phương trỡnh khụng thay đổi. 
 2. Hệ phương trỡnh đối xứng theo hai ẩn số x, y là hệ phương trỡnh khi ta 
thay x bởi y và thay y bởi x thỡ hệ phương trỡnh khụng thay đổi. 
Dạng 2: Tỡm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 cú nghiệm 
Phương phỏp giải chung: 
 ã Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cú). 
 ã Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và SP2 ³ 4 
 (*). 
 ã Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trỡnh. Giải hệ tỡm S, P 
 theo m rồi từ điều kiện (*) tỡm m. 
Chỳ ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thỡ nhớ tỡm 
chớnh xỏc điều kiện của u, v. 
Dạng 3: Một số bài toỏn giải bằng cỏch đưa về hệ phương trỡnh. 
Phương phỏp giải chung: 
Chọn ẩn số phụ u và v thớch hợp để đưa về hệ phương trỡnh đối xứng. 
CÁC BÀI TẬP MẪU: 
Dạng 1 : Giải hệ phương trỡnh: 
 ỡ x2 y+ xy 2 = 30
Vớ dụ 1. Giải hệ phương trỡnh ớ . 
 ợ x3+ y 3 = 35
 ỡ xy( x- y ) = - 2
Vớ dụ 2. Giải hệ phương trỡnh ớ . 
 ợ x3- y 3 = 2
 1 1
 ỡ x+ y + + = 4
 ù x y
Vớ dụ 3. Giải hệ phương trỡnh ớ . 
 1 1
 ù x2+ y 2 + + = 4
 ợù x2 y 2
 ùỡ x2+ y 2 +2 xy = 8 2 (1)
Vớ dụ 4. Giải hệ phương trỡnh ớ . 
 ợù x+ y = 4 (2)
Dụng ý: 
 ỉ Củng cố về định nghĩa hệ phương trỡnh đối xứng. 
 ỉ Rốn luyện cho học sinh cỏc kỹ năng giải hệ phương trỡnh đối 
 xứng 
 ỉ Rốn luyện kỹ năng dựng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trỡnh 
 về hệ phương trỡnh đối xứng loại 1. 
 ỉ Rốn luyện kỹ năng dựng cỏc hằng đẳng thức quen thuộc để 
 biến đổi biểu thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y 
 ỉ Rốn luyện kỹ năng dựng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trỡnh 
 về hệ phương trỡnh đối xứng loại 1. 
 ỉ Rốn luyện kỹ năng dựng cỏc hằng đẳng thức quen thuộc để 
 biến đổi biểu thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y 
Dạng 3: Một số bài toỏn giải bằng cỏch đưa về hệ phương trỡnh 
 3
Vớ dụ. Giải phương trỡnh: 3x+ 3 1 - x = . 
 2
Dụng ý: 
 ỉ Rốn luyện cho học sinh cỏc kỹ năng đặt ẩn số phụ để đưa một 
 phương trỡnh đại số vế hệ phương trỡnh đối xứng, thụng qua đú 
 để giải một số phương trỡnh đại số phức tạp. 
Hệ phương trỡnh đối xứng loại 2: 
Phương phỏp giải chung: 
 ã Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cú). 
 ã Bước 2: Lấy (1) - (2) hoặc (2) - (1) ta được: (x-y)g(x,y)=0. Khi 
 đú ta được x-y=0 hoặc g(x,y)=0. 
+ Trường hợp 1: x-y=0 kết hợp với phương trỡnh (1) hoặc (2) suy ra được 
nghiệm. 
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trỡnh (1) + (2) suy ra nghiệm 
(trong trường hợp này hệ phương trỡnh mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thụng 
thường vụ nghiệm. 
CÁC BÀI TẬP MẪU: 
 3
 ùỡx=3 x + 8 y ( 1)
Vớ dụ 1: Giải hệ phương trỡnh (I) 
 ớ 3
 ợùy=3 y + 8 x ( 2)
 ùỡx+4 y -1 = 1
Vớ dụ 2: Giải hệ phương trỡnh ớ 
 ợùy+4 x -1 = 1
 ỡx= y2 - y + m
Vớ dụ 3: Cho hệ phương trỡnh (I) 
 ớ 2
 ợy= x - x + m
a. Tỡm m để hệ phương trỡnh cú nghiệm. 
b. Tỡm m để hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất. 
dạng 1 cho học sinh. Sau đú chia lớp thành Phương phỏp: 
4 nhúm mỗi nhúm thực hiện theo sự phõn 
chia như sau: 
 ã Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cú). 
 Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều 
 Nhúm 1 Nhúm 2 Nhúm 3 Nhúm 4 ã
 2
 VD1 VD2 VD1 VD2 kiện của S, P và SP³ 4 . 
 VD3 VD4 VD3 VD4 ã Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ 
 phương trỡnh. Giải hệ tỡm S, P rồi dựng hệ 
Sau đú GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ thức Viột đảo tỡm x, y. 
phương trỡnh theo cỏc biểu thức của S và P Chỳ ý: 
 2 2 2
vào 4 vớ dụ của bài tập dạng 1. + Cần nhớ: x + y = S – 2P, 
 3 3 3
GV cho đại diện mỗi nhúm phõn tớch đề bài x + y = S – 3SP. 
và nờu cỏch giải của từng vớ dụ + Đụi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = 
 v(x) 
 và S = u + v, P = uv. 
 + Cú những hệ phương trỡnh trở thành đối 
 xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ. 
 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 
* Đối với VD 1: VD 1: Giải hệ phương trỡnh 
GV: Em hóy cho biết VD1 yờu cầu gỡ ? 
 ỡ x2 y+ xy 2 = 30
Muốn giải bài toỏn này ta làm như thế nào? ớ . 
 x3+ y 3 = 35
( Cho đại diện nhúm 1 ) ợ
HS nhúm 1: Giải: 
 +VD1 yờu cầu giải phương trỡnh 
 2
 +Muốn giải phương trỡnh thỡ ta phải Đặt S=x + y , P = xy , điều kiện SP³ 4 . 
biến đổi từng phương trỡnh của hệ qua biểu Hệ phương trỡnh trở thành: 
 S x y ỡ SP= 30
 ỡ = + ù
thức S và P bằng cỏch đặt ớ và ớ
 P= x. y ù S(S2 - 3P) = 35
 ợ ợù
giải hệ để tỡm S,P rồi dựng Định lý Viet1 ỡ 30 
 ù P =
đảo tỡm x, y ù S
 Û ớù
 ù 2 90
 ù S S- = 35
 ợù ( S )
( Cho đại diện nhúm 3 trả lời) 1 1
 ỡ x+ y + + = 4
HS nhúm 3: ù x y
 ớ . 
 1 1
 +VD3 yờu cầu giải hệ phương trỡnh ù x2+ y 2 + + = 4
 1 1 ợù x2 y 2
ỡ x+ y + + = 4
ù x y
ớ Giải: 
ù 2 2 1 1 Điều kiện xạ0, y ạ 0 . 
 x+ y +2 + 2 = 4
ợù x y Hệ phương trỡnh tương đương với: 
 +Muốn giải hệ phương trỡnh thỡ ta đưa 
 ùỡ1 ổ 1 ữ ử
về hệ đối xứng loại 1, bằng cỏch ù (x+) +ỗ y +ữ = 4
 ù xố y ứ
 1 1 ớ 2 2 
xemx + và y + là hai ẩn số mới, đặt : ù 1ổ 1 ử
 x y ù x+ +ỗ y +ữ = 8
 ợù ( x) ố y ứữ
 1ổ 1 ử
 S= x + +ỗ y + ữ , Đặt 
 ( x) ốỗ y ứữ
 1ổ 1 ử
 1ổ 1 ử S= x + +ỗ y + ữ ,
 P= x +ỗ y + ữ , ( x) ốỗ y ứữ
 ( x)ốỗ y ứữ
 1ổ 1 ử
 2 P= x +ỗ y + ữ , 
 S³ 4P ( x)ốỗ y ứữ
Từ đú biến đổi hệ phương trỡnh theo S, P. S2 ³ 4P
Giải hệ tỡm S,P ị x, y. 
 ta cú: 
 ỡ S= 4 ỡ S= 4
 ù ù
 ớÛ ớù
 ùS2 - 2P = 8 ù P= 4
 ợùợ ù
 ùỡ1 ổ 1 ử
 ù x+ +ỗ y +ữ = 4
 ù ( x) ố y ứữ
 Û ớù
 ù 1ổ 1 ử
 ù x+ỗ y +ữ = 4
 ợù ( x)ố y ứữ
 ỡ 1
 ù x+ = 2
 ù x ùỡ x= 1
 ÛÛớù ớù . 
 ù1 ù y= 1
 ù y+ = 2 ợ ù
 ợù y
 Vậy nghiệm của hệ phương trỡnh là : (1 ; 1) 
Đối với VD 4: VD 4: Giải hệ phương trỡnh 
GV: Vớ dụ này yờu cầu mức độ khú hơn 3 
 ùỡ x2+ y 2 +2 xy = 8 2 (1)
vớ dụ đầu. Ở phương trỡnh (2) của hệ cú ớ . 
chứa x và y tuy nhiờn khi bỡnh phương ợù x+ y = 4 (2)
 Giải: