Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 10

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
 TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC
 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
 Tên sáng kiến:
“Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh 
 lớp 10”
 Tác giả sáng kiến: Nguyễn Minh Khánh.
 Mã sáng kiến: 05.52
 Vĩnh Phúc, tháng 2 năm 2020
 0 1. Lời giới thiệu
 Qua quá trình công tác giảng dạy ở trường THPT , mà cụ thể là phân môn Đại 
số 10 các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn, tuy 
nhiên các em chỉ được làm quen với một số cách giải thông thường, đơn giản. Tôi 
nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán nói riêng, 
muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản 
thân mỗi thầy, cô cần phải có nhiều phương pháp và nhiều cách tiếp cận bài toán để 
hướng dẫn cho học sinh chon lựa cách giải bài tốt nhất. Từ đó đòi hỏi người thầy 
cần phải không ngừng tìm tòi nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp và cách giải 
qua một bài toán để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động, tư duy sáng 
tạo, phát triển bài toán và có thể đề xuất hoặc tự làm các bài toán tương tự đã được 
nghiên cứu, bồi dưỡng.
Dạy cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, đảm bảo trình độ thi đỗ đại học đã là 
khó và rất cần thiết nhưng chưa đủ. Là giáo viên dạy toán ở trường THPT ai cũng 
mong muốn mình có được nhiều học sinh yêu quý, có nhiều học sinh đỗ đạt, có 
nhiều học sinh giỏi. Song để thực hiện được điều đó người thầy cần có sự say mê 
chuyên môn, đặt ra cho mình nhiều nhiệm vụ, truyền sự say mê đó cho học trò. 
Khai thác sâu một bài toán cũng là một phần việc giúp người thầy thành công trong 
sự nghiệp của mình. Với chút hiểu biết nhỏ bé của mình cùng niềm say mê toán 
học tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình 
vô tỉ cho học sinh lớp 10” mong muốn được chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm 
toán, học toán và dạy toán với bạn bè trong tỉnh. Hy vọng đề tài giúp ích một phần 
nhỏ bé cho quý thầy cô trong công tác giảng dạy.
2. Tên sáng kiến: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 
10”
3. Tác giả sáng kiến:
 - Họ và tên: Nguyễn Minh Khánh – Tổ phó tổ Toán – Tin 
 Trường THPT Nguyễn Thái Học.
 - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
 - Số điện thoại: 0373000796. E-mail: khanhnth1978@gmail.com
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
 - Họ và tên: Nguyễn Minh Khánh – Tổ phó tổ Toán – Tin 
 Trường THPT Nguyễn Thái Học.
 2 Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình 
 thường gặp một số bài toán vận dụng biến đổi cơ bản và một số dạng bài toán 
 không mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao. 
 * Dạng 1: phương trình f (x) g(x) (1)
 g(x) 0
 g(x) 0
 Phương trình f (x) g(x) 2 điều kiện là điều kiện cần và 
 f (x) g (x)
 đủ của phương trình (1) sau khi giải phương trình f (x) g2 (x) chỉ cần so sánh 
 các nghiệm vừa nhận được với điều kiện g(x) 0để kết luận nghiệm mà không cần 
 phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm.
 * Dạng 2: phương trình f (x) g(x) (2)
 f (x) 0 g(x) 0 
 Phương trình f (x) g(x) 
 f (x) g(x)
 Điều kiện f (x) 0 g(x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (2). Chú ý 
 ở đâykhông nhất thiết phải đặt điều kiện đồng thời cả f (x) và g(x) không âm vì 
 f (x) g(x).
* Dạng 3: phương trình f (x) g(x) h(x) (3) .
 Bước 1: Đặt điều kiện
 Bước 2: Chuyển vế để 2 vế đều dương f (x) g(x) h(x) . 
 Bước 3: Bình phương 2 vế
 * Dạng bài toán không mẫu mực:
 Loại này được thực hiện qua các ví dụ cụ thể.
 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sang kiến kinh nghiệm
 Học sinh trường THPT Nguyễn Thái Học ở các lớp đặc biệt là lớp 10 nhận thức 
 còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về phương trình vô 
 tỉ chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến 
 đổi, trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó 
 chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng 
 dành cho phần kiến thức này là rất ít.
 3. Sáng kiến kinh nghiệm khắc phục những hạn chế của học sinh.
- Để khắc phục những hạn chế của học sinh khi giải phương trình vô tỉ, tôi đã làm 
như sau:
 4 t x
 t 1 x
 Trở lại phép đặt ta có.
 2x 1 x
 2x 1 1 x
 Giải phương trình, so sánh điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 
 x 1
 x 2 2
 Nhận xét: Cách 1 là phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn, với 
cách làm này ta khai thác rất nhiều bài với cách giải tương tự.
Cách 2. 
 1
ĐK x 
 2
 1 1
 PT x2 x+ 2x 1 2x 1 
 4 4
 1 1 2x 1 x
 (x )2 ( 2x 1 )2 
 2 2 2x 1 1 x
 Giải phương trình, so sánh điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 
 x 1
 x 2 2
 Nhận xét: Cách 2 là phương pháp biến đổi về tổng hoặc hiệu hai bình 
phương, với cách làm này ta khai thác rất nhiều bài với cách giải tương tự.
Cách 3. Cô lập căn thức, đặt điều kiện, bình phương hai vế, giải phương trình bậc 
 x 1
bốn ta cũng tìm được nghiệm là: 
 x 2 2
Tuy nhiên Cách 3 không thú vị, chỉ nên làm khi phương trình có nghiệm đẹp, do 
có nghiệm đẹp nên có thể suy nghĩ đến phương pháp nhân liên hợp để xuất hiện 
nhân tử chung.
Không thỏa mãn với 3 cách trên tôi tiếp tục suy nghĩ đến phương án đặt ẩn phụ đưa 
về hệ đối xứng loại II và tôi đã tìm ra Cách 4.
Cách 4.
 1
ĐK x . (1) (1 x)2 x (1 x) x
 2
 6 2 3x u
Đặt 
 2
 4x 6x 5 v
ta thu được hệ 
 2 2
 u x x 3 1 x v
 u2 v2 1 x v u
 2 2 
 v 1 x u x x 3
 u v
 u v u v x 1 0 
 u v x 1 0
Xét hai trường hợp xảy ra
 u v 2 3 x 4 x 2 6 x 5
 2
 x 3 1 4
 3 x .
 2 5
 5 x 6 x 1 0
 u v x 1 0 4x2 6x 5 4x 3
 3
 x 9 33
 4 x .
 2 2 12
 4x 6x 5 16x 24x 9
 3 14 9 33 
Kết luận tập nghiệm S ; .
 2 12  
Nhận xét:
Mức độ phức tạp đã tăng thực sự, nguyên do dạng tổng quát
 mx n 2 b a a mx n b .
Trong đó a; b lúc này theo thứ tự là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
 2 3x 2 x2 x 3 1 x 1 x 2 3x x2 x 3 .
Ngoài cách làm trên, có thể đặt ẩn phụ không hoàn toàn cũng thu được kết quả tuy 
nhiên rất vất vả. Sau đây chúng ta mở rộng tiếp để được những bài toán phức tạp 
hơn.
 16x2 11x 1
Bài toán 3. Giải phương trình 4x2 18x 4.
 x 4
Lời giải.
 x 4
Điều kiện 2
 2x 9x 2 0
 8 Đặt
 u x 2 0,v x2 2x 4 3
 u u
 1 2u2 2v2 5uv 2( )2 5 2 0
 v v
 u
 2 2
 v u 2v x 2 2 x 2x 4
 u 1 2u v 2
 2 x 2 x 2x 4
 v 2
 x 3 13
 2x2 2x 3
Bài toán 5. Giải phương trình x2 5x 7
 2x 3
Lời giải.
 3
Điều kiện x .
 2
Phương trình đã cho tương đương với
 2x2 2x 3 ( 2x 3) x2 5x 7
 x 1 2 x2 4 ( 2x 3) ( 2x 3)( x 1) x2 4.
Đặt x 1 u; x2 5x 7 v,(v 0) ta thu được
 u2 x2 4 ( 2x 3)v u v
 u2 v2 ( 2x 3)(v u) 
 2 2 
 v x 4 ( 2x 3)u u v 2x 3 0
Xét các trường hợp
 u v x 1 x2 5x 7
 x 1 x 1
 2 2 x .
 x 2x 1 x 5x 7 x 2
 u v 2x 3 0 x2 5x 7 3x 4
 3x 4 19 73
 2 x 
 8x 19x 9 0 16
 10 2 x 2
 u v x 2 2x x 1 2 2
 x 4x 4 2x x 1
 x 2 3 21 3 21 
 2 x ; .
 x 3x 3 0 2 2  
 2 x 1
 u v x 0 2x x 1 2x 2 2 2
 2x x 1 4x 8x 4
 x 1
 2 x 3.
 2x 7x 3 0
 3 21 3 21 
Kết luận: Phương trình ban đầu có tập nghiệm x ; ; 3 .
 2 2  
Nhận xét.
Đối với bài toán này ,phía ngoài căn thức có dạng nhị thức bậc nhất nên tạm thời 
sử dụng : 5x 3 x 2x2 x 1 x n 2 (x2 a.x b) x x(x n) x2 a.x b.
Đồng nhất hệ số
 n2 b 3
 n 2
 b 1 
 a 1
 n a 1 
 b 1
 2n a 5
 (x 2)2 x2 x 1 x x(x 2) x2 x 1
 3
Bài toán 7. Giải phương trình 2x 1
 (2x 1)(4x 3) 6
Lời giải
 1
 x 
 2
Điều kiện 3
 x 
 4
 (2x 1)(4x 3) 36
Phương trình đã cho tương đương với
 12 2x 1 0
 u v 2x 1 8x2 3x 1 
 2 2
 4x 4x 1 8x 3x 1
 1
 x 1 
 2 x ; 2.
 2 4 
 4x 7x 2 0
 x 0
 u v 1 4x 6x 8x2 3x 1
 2 2
 36x 8x 3x 1
 x 0
 2 (Hệ vô nghiệm).
 28x 3x 1 0
 1
Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm x ; x 2.
 4
Bài toán 9. Giải phương trình 4x2 19x 6 x 2x2 4x 3
Lời giải.
Điều kiện 2x2 4x 3 0.
Phương trình đã cho tương đương với 2x 3 2 7x 3 x x 2x 3 7x 3.
Đặt 2x 3 u; 2x2 4x 3 v ta thu được hệ phương trình
 u2 7x 3 xv u v
 u2 v2 x v u 
 2 
 u 7x 3 xu u v x
Xét hai trường hợp xảy ra
 2x 3 0
 u v 2x 3 2x2 4x 3
 2 2
 4x 12x 9 2x 4x 3
 3
 x 
 2 x 4 13.
 2
 2x 16x 6 0
 x 1 11 79
 u v x 2x2 4x 3 3x 3 x .
 2 
 7x 22x 6 0 7
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm như trên.
 14