Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng sử dụng hệ số cao nhất để giải nhanh bài toán xét dấu biểu thức và các bài toán liên quan cho học sinh lớp 10

 MỤC LỤC
 Trang
Mục lục 1
1. Mở đầu 2
1.1. Lý do chọn đề tài 2
1.2. Mục đích nghiên cứu 3
1.3. Đối tượng nghiên cứu 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu 3
2. Nội dung 4
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4
2.3. Các giải pháp và biện pháp thực hiện 6
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân 14
và nhà trường
3. Kết luận , kiến nghị 16
3.1. Kết luận 16
3.2. Kiến nghị 16
Tài liệu tham khảo 17
Danh mục các đề tài SKKN đã được hội đồng SKKN ngành giáo 18
dục và đào tạo huyện, tỉnh và các cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên.
 1 1.2. Mục đích nghiên cứu
 Sáng kiến kinh nghiệm là kết quả tôi đúc rút được trong trong quá trình dạy học 
sinh tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm về giải các bài toán về xét dấu biểu thức 
dạng tích thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai và giải các bất phương 
trình dạng tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu và các bài toán liên quan  Tôi 
đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh lớp 10 THPT 
vận dụng và tìm ra phương pháp giải nhanh , hiệu quả các bài toán liên quan đến 
xét dấu biểu thức và các giáo viên có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình dạy 
học phần này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh lớp 10 cơ bản giải nhanh các bài 
toán xét dấu biểu thức chứa tích, thương các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai. 
bất phương trình đại số dạng tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, tìm tập xác 
định của hàm số chứa ẩn dưới dấu căn . Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng 
dẫn học sinh hai dạng đó là xét dấu biểu thức dạng P(x) A.B...hoặc 
 A.B....
 P(x) trong đó A,B,C,D là các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa 
 C.D....
thức một biến và giải các bất phương trình sử dụng bảng xét dấu biểu thức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 - Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
 - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế.
 - Phương pháp thống kê , xử lý số liệu.
 3 1 5
Các nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần : 2;0; ;
 4 3
Bảng xét dấu 
 1 5
 x -∞ 2 0 +∞
 4 3
 x - - 0 + + +
 4x 1 - - - 0 + +
 x 2 + 0 - - - -
 3x 5 + + + + 0 -
 f(x) + 0 - 0 + 0 - +
Kết luận:
Từ bảng xét dấu ta thấy:
 5 1
 f (x) 0 khi x ( ; 2) hoặc ; hoặc x (0; )
 3 4
 1 5
 f (x) 0 khi x ( 2;0) hoặc x ( ; )
 4 3
 1
 f (x) 0 khi x 2; x 0;x 
 4
 5
f(x) không xác định khi x 
 3
Ví dụ 2.Xét dấu biểu thức f (x) (3x2 10x 3)(4x 5) 
Giải:
 1
 x 
Ta có: 3x2 10x 3 0 3
 x 3
 5
 4x 5 0 x 
 4
Bảng xét dấu:
 1 5
 x -∞ 3 +∞
 3 4
 2
 3x 10x 3 + 0 - - 0 +
 4x 5 - - + +
 f(x) - 0 + 0 - 0 +
 5 P(x)
Biểu thức và P(x).Q(x) không đổi dấu.
 Q(x)
2.3.2. Tổ chức thực hiên
Sau khi dạy học sinh làm các bài tập xét dấu biểu thức theo phương pháp truyền 
thống trong sách giáo khoa theo yêu cầu bài dạy. Trong tiết tự chọn tôi đưa ra câu 
hỏi cho cả lớp thảo luận kết quả thu được ở các bài toán loại này đã làm như sau :
+ Xác định các hệ số cao nhất của các biểu thức đa thức thành phần ở mỗi bài toán 
đã làm?
+ Xác định dấu của tích các hệ số vừa tìm được?
+ So sánh dấu của f(x) ở khoảng ngoài cùng bên phải với dấu của tích các hệ số cao 
nhất ở trên?
+ Nhận xét gì về dấu của f(x) khi qua mỗi nghiệm?
Tôi cho học sinh nhận xét về dấu của f(x) ở dòng kết luận cuối cùng trong bảng ở 
các ví dụ làm theo cách truyền thống trong sách giáo khoa đại số 10 cơ bản các em 
đều rút ra các đặc điểm sau:
+ Dấu của f(x) không đổi trên mỗi khoảng.
+ Dấu của f(x) ở khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với dấu của tích các hệ số 
cao nhất của các biểu thức thành phần.
+ f(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm có số lần lặp là lẻ và không đổi dấu khi đi qua 
các nghiệm có số lần lặp là chẵn.
Từ đó tôi : Sau khi cho học sinh phân tích, thảo luận và nắm bắt được yêu cầu và 
hướng giải quyết của bài toán, ta thực hiện theo các bước sau để giải quyết vấn đề:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức (nếu có).
Bước 2: Tìm nghiệm x1,x2 ,....của tất cả các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, các 
biểu thức thành phần có mặt trong biểu thức (với bước này có thể giải nhanh bằng 
máy tính). Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn từ trái qua phải. 
Bước 3: Xác định dấu tích các hệ số cao nhất của các biểu thức đa thức thành 
phần. Suy ra dấu của f(x) ở khoảng ngoài cùng bên phải. Giả sử xn là nghiệm lớn 
nhất thì khoảng ngoài cùng bên phải là xn ; .
Bước 4 : Lập bảng xét dấu gồm 2 dòng x, f(x) và 2 cột.Trong đó sắp xếp các 
nghiệm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Xác định các khoảng
f(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm có số lần lặp là lẻ và không đổi dấu khi đi qua 
các nghiệm có số lần lặp là chẵn.
Bước 4: Kết luận theo yêu cầu bài toán
Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức 
 (4x 1)(x 5)3
 f (x) 
 3x 5
Hướng dẫn giải:
 7 Tam thức bậc hai x2 2x 1có nghiệm kép x 1( nghiệm -1 lặp lại 2 lần)
 1
 2x 1 có nghiệm x 
 2
 x2 5x 4 có nghiệm là 1 và 4.
 2
Tích các hệ số cao nhất ở ba biểu thức thành phần x2 2x 1; 2x 1; x 5x 4 là: 
1.2.1 0
Do đó trên khoảng ngoài cùng bên phải (4; ) thì f(x) có dấu dương. Vì x = -1 là 
nghiệm kép nên f(x) không đổi dấu khi qua -1, f(x) đổi dấu khi qua các nghiệm còn 
lại
Bảng xét dấu
 1
 x -∞ -1 1 4 +∞
 2
 P(x) - 0 - 0 + 0 - 0 +
Kết luận:
 1 
 f (x) 0 khi x ;1 hoặc x (4; )
 2 
 1
 f (x) 0 khi x ( 1; ) hoặc (1;4) hoặc ( ; 1)
 2
 1
 f (x) 0 khi x 1; x ; x 1; x 4
 2
 x3 1
Ví dụ 3. Bất phương trình 0 có tập nghiệm là:
 x2 4x 3
 A.( ;1) B.( 3; 1) [1; )
 C.( ; 3)  ( 1;1] D.( 3;1)
Hướng dẫn giải: Điều kiện xác định x2 4x 3 0
 x3 1
Xét dấu biểu thức ở vế trái f (x) 
 x2 4x 3
Tìm nghiệm các biểu thức thành phần:
 x3 1 0 x 1
 2 x 1
 x 4x 3 0 
 x 3
Xác định tích các hệ số cao nhất ở mỗi biểu thức thành phần x3 1 và x2 4x 3 
là 1.1 1 0
Do đó ta có bảng xét dấu
 x -∞ -3 -1 1 +∞
 f(x) - + - 0 +
 9 với tích hệ số cao nhất nên dương, còn khi x thuộc từ (2;3) mang dấu âm. Do đó 
 2; không thuộc tập nghiệm của bất phương trình .
- Phương án B là sai vì ta thấy (x 2)( x2 x 2) 0 có các nghiệm đơn -2 ;1 ;2. 
Do đó 2; là khoảng ngoài cùng bên phải. Tích hệ số cao nhất của 2 biểu thức 
thành phần x2 x 2 và 3x 6 là 3 0 dó đó khi x thuộc khoảng 2; thì 
 f (x) (3x 6)( x2 x 2) âm. Nên khoảng 2; không thuộc tập nghiệm của 
bất phương trình này.
- Ta dễ dàng nhận thấy phương án C là sai vì biểu thức vế trái của bất phương trình 
có nghiệm bằng 2 và không xác định tại x bằng 1. Khoảng ngoài cùng bên phải của 
x là 2; . Mà tích hệ số cao nhất ở hai biểu thức thành phần 2 x và x 1 là 
 2 x
 1.1 0 . Do đó trên khoảng (2; ) thì f (x) âm. Nên(2; ) không 
 x 1
thuộc tập nghiệm của bất phương trình.
Do đó. Ta chọn phương án còn lại là D.
 7
Ví dụ: Giải bất phương trình x 9 
 x 2 3
+ Hướng dẫn giải: Xét dấu x 2 và x 9 có 3 trường hợp xảy ra:
 7
Trường hợp 1: Nếu x 2 (*) thì bất phương trình đưa về 9 x 
 (2 x) 3
 x2 8x 16
 0 (2)
 x 1
Lập bảng xét dấu biểu thức ở vế trái :
Các giá trị đặc biệt4 4 2 ,4 4 2 , -1.
Ta có tích hệ số cao nhất của x2 8x 16 và x 1 là : 1.1 1 0 . Do đó trên 
khoảng 4 4 2; thì biểu thức vế trái bất phương trình (2) (VT(2)) có dấu 
dương. 
Suy ra dấu trên các khoảng còn lại.
Kết hợp với điều kiện (*) ta có bảng xét dấu như sau:
 x - 4 4 2 -1 2 4 4 2 + 
 VT(2) - 0 + - - 0 +
 4 4 2 x 1 
 7
+ Trường hợp 2: Nếu 2 x 9 thì bất phương trình đưa về: 9 x 
 (x 2) 3
 11 4 x
 a. A (x 1)(3 x) b. B = (2x + 4)(5 - x) c. C 
 x 2
Bài 5. Giải các bất phương trình sau:
 4 3x
a. (4x 7)(3 2x) 0; b. 0; 
 x 2
Bài 6. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
 x2 x 1 1 1
a. y b. y 
 x 2 2x 1 x2 7x 5 x2 7x 10
Bài 7. Giải các bất phương trình sau :
 x4 x2 1 1
a. 0 b. 
 x2 5x 6 x2 5x 4 x2 7x 10
Bài 8. Giải các bất phương trình sau:
a. 1 2x x2 x 1 0 b. x4 5x2 2x 3 0 
Bài 9. Xét dấu biểu thức:
 x2 x 6
a. x3 5x 2 b. x 
 x2 3x 4
 x2 1
Bài 10. Giải bất phương trình: 0 
 x2 3 3x2 2x 8 
B. Bài tập trắc nghiệm
 (x 1)(x3 1)
Bài 1. Tập nghiệm của bất phương trình 0 là:
 x2 1 2 2 x 2 2
A. 1 2; 2 B. 1 2;1 
C. 1 2; 2  1 D. [1; ) 
 x2 5x 6
Bài 2.Tập nghiệm của bất phương trình 0 là:
 x 1
 A. 1;3 B. 1;2 3; C. [2;3] D. ;1 2;3 
 13