Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm nâng cao năng lực giải quyết các bài toán thực tiễn cho học sinh trường THPT Như Thanh II

 1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
 Ngày nay, phương châm học đi đôi với hành luôn được đề cao trong các cấp 
học. Học là hoạt động tiếp thu những tri thức cơ bản của nhân loại đã được đúc 
kết qua mấy ngàn năm lịch sử để làm giàu tri thức, nâng cao trình độ hiểu biết 
về nhiều mặt để có thể làm chủ bản thân, làm chủ công việc của mình. Hành là 
quá trình vận dụng những kiến thức đã tiếp thu được trong quá trình học vào 
thực tế công việc hằng ngày. Ví dụ như người thầy thuốc đem hiểu biết của 
mình học được ở trường Đại học Y Dược trong suốt sáu năm để vận dụng vào 
việc chữa bệnh cứu người. Những kiến trúc sư, kĩ sư xây dựng thiết kế và thi 
công bao công trình như nhà máy, bệnh viện, sân bay, nhà ga, công viên, trường 
học Những kĩ sư cơ khí chế tạo máy móc phục vụ sản xuất trong lĩnh vực 
công nghiệp, nông nghiệp Nông dân áp dụng khoa học kĩ thuật vào chăn nuôi, 
trồng trọt để thu hoạch với năng suất cao Đó là hành. Khi nói học đi đôi với 
hành là chúng ta đề cập đến mối quan hệ giữa lí thuyết và thực tiễn. Học đi đôi 
với hành có ý nghĩa thực sự quan trọng. Để đạt được hiệu quả cao, người học 
nên biết cân bằng giữa lí thuyết và thực tiễn sao cho hài hòa, hợp lí. Giữa lí 
thuyết và thực hành có mối quan hệ như hai chân của một con người, thiếu một 
chân thì con người chẳng thể đứng vững. Học với hành giúp chúng ta vừa 
chuyên sâu kiến thức lại vừa thông thạo, hoàn thiện kĩ năng làm việc. Một thực 
tế đáng buồn là từ trước đến nay, nhiều học sinh đã sai lầm trong cách học, dẫn 
đến hiệu quả không cao vì chỉ khư khư ôm lấy lí thuyết mà không chịu thực 
hành. Một phần do học sinh chưa nắm được tầm quan trọng của phương châm 
học đi đôi với hành, một phần xuất phát từ tâm lí e ngại, lười hoạt động. Xuất 
phát từ thực tế đó việc giáo dục ý thức học đi đôi với hành, lý thuyết gắn với 
thực tiễn là một vấn đề cấp thiết vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ 
năng vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm nâng cao năng 
lực giải quyết các bài toán thực tiễn cho học sinh trường THPT Như Thanh 
II”. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là mảng kiến thức quan trọng ở trường phổ 
thông, có nhiều ứng dụng trong thực tế. Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất 
phương trình bậc nhất hai ẩn có liên quan chặt chẽ đến bài toán tìm cực trị của 
biểu thức P(x; y) ax by b 0 trên một miền đa giác phẳng lồi. Việc nắm 
vững kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp học sinh có thể quy 
những bài toán kinh tế trong cuộc sống về toán học. 
1.2 Mục đích nghiên cứu
- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;
- Giáo dục ý thức học sinh biết vận dụng kiến thức đã học vào việc giải quyết 
các bài toán thực tiễn.
 1 2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận [1]
2.1.1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai 
ẩn.
 * Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax by c (
 ax by c, ax by c, ax by c ) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a 
và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
 * Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc 
nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung 
đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
2.1.2 Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
 * Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất 
phương trình được gọi là miền nghiệm của nó.
 * Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng ax by c chia mặt phẳng 
thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó là miền nghiệm của 
bất phương trình ax by c, nửa mặt phẳng kia là miền nghiệm của bất phương 
trình ax by c.
 * Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền 
nghiệm) của bất phương trình ax by c như sau (tương tự cho bất phương 
trình ax by c)
- Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : ax by c
- Bước 2: Lấy một điểm M 0 x0; y0 không thuộc (ta thường lấy gốc tọa độ 
O)
- Bước 3: Tính ax0 by0 và so sánh ax0 by0 với c
- Bước 4: Kết luận
+ Nếu ax0 by0 c thì nửa mặt phẳng bờ chứa M 0 là miền nghiệm của 
 ax by c
+ Nếu ax0 by0 c thì nửa mặt phẳng bờ không chứa M 0 là miền nghiệm 
của ax by c.
- Miền nghiệm của bất phương trình ax by c bỏ đi đường thẳng 
 ax by c là miền nghiệm của bất phương trình ax by c.
2.1.3 Phương pháp tìm cực trị của biểu thức F ax by trên một miền đa 
giác.
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ax by (a, b là 
hai số đã cho và không đồng thời bằng 0), trong đó x, y là tọa độ các điểm thuộc 
miền đa giác A1A2...Ai Ai 1...An . Xác định x, y để F đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
 3 2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Trong phần này tôi sẽ đưa ra 2 bài toán thực tế mà học sinh cũng như giá 
đình các em gặp phải trong đời sống hàng ngày. Việc giải quyết được các bài 
toán này sẽ giúp gia đình các em tiết kiệm tối đa các chi phí mà hiệu quả mang 
lại cao. Điều đáng nói ở đây là bài toán tưởng chừng như rất khó nhưng thực tế 
lại rất đơn giản.
2.3.1 Bài toán lập phương án sản xuất để có doanh thu (hay lãi) cao nhất.
 [1]
VD1 : Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M 1, M2 sản xuất hai loại sản 
phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản 
phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng 
máy M1 trong 3 giờ và máy M 2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm 
loại II phải dùng máy M 1 trong 1 giờ và máy M 2 trong 1 giờ. Một máy không 
thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M 1 làm việc không quá 6 
giờ trong một ngày, máy M 2 chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch 
sản xuất sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.
Giải:
 Gọi x, y theo thứ tự là số tấn sản phẩm loại I, loại II sản xuất trong một 
ngày (x 0, y 0) . Như vậy tiền lãi mỗi ngày là L 2x 1,6y (triệu đồng) và 
số giờ làm việc (mỗi ngày) của máy M1 là 3x y và máy M2 là x y .
 Vì mỗi ngày máy M1 chỉ làm việc không quá 6 giờ, máy M2 làm việc không 
quá 4 giờ nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình 
 3x y 6
 x y 4
 x 0
 y 0
Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình, tìm nghiệm 
 (x x0; y y0 ) sao cho L 2x 1,6y lớn nhất 
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC kể cả miền trong (như 
hình 1.2)
Ta tính giá trị của biểu thức L 2x 1,6y tại tất cả các đỉnh của tứ giác OABC, 
ta thấy L lớn nhất khi x 1, y 3.
 Vậy số tiền lãi cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 
tấn sản phẩm loại II.
 5 Vì số lượng máy trong nhóm A là 10 máy, số lượng máy trong nhóm B là 4 máy, 
số lượng máy trong nhóm C là 12 máy nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương 
trình
 2x 2y 10
 2y 4
 2x 4y 12
 x 0
 y 0
Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình, tìm nghiệm 
 (x x0; y y0 ) sao cho L 3x 5y lớn nhất 
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác OABCD kể cả miền trong 
(như hình 3)
 Hình 3
Ta tính giá trị của biểu thức L 3x 5y tại tất cả các đỉnh của ngũ giác 
OABCD, ta thấy L lớn nhất khi x 4, y 1.
Vậy số tiền lãi cao nhất, cần sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản 
phẩm loại II.
VD3[3]: Một nhà máy có nhiệm vụ sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Những 
sản phẩm này được chế biên từ 3 loại nguyên liệu I, II, III. Số đơn vị nguyên 
 7 O
 Hình 4
VD4[3]: Một cơ sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm là bàn, ghế 
và tủ. Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất và giá bán mỗi sản phẩm 
mỗi loại ước tính trong bảng sau:
 Các yếu tố Bàn Ghế Tủ
Lao động (ngày 2 1 3
công)
Chi phí sản xuất 100 40 440
(nghìn đồng)
Giá bán (nghìn 260 120 600
đồng)
Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định số sản phẩm mỗi loại cần phải 
sản xuất sao cho không bị động trong sản xuất và tổng doanh thu đạt được cao 
nhất, biết rằng cơ sở có số lao động tương đương với 500 ngày công, số tiền 
dành cho chi phí sản xuất là 40 triệu đồng và số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6.
Giải:
 Gọi x, 6x, y theo thứ tự là số bàn, ghế, tủ cần sản xuất để có lãi cao nhất 
 (x 0, y 0) . Như vậy số tiền lãi là L 260x 120.6x 600y 980x 600y 
(nghìn đồng) 
Tổng ngày công và chi phí dự định sản xuất là:
 2x 6x 3y 8x 3y (ngày công)
 100x 40.6x 440y 340x 440y (nghìn đồng)
 9 chất dinh dưỡng có trong một đơn vị chất dinh dưỡng trong khẩu phần thức ăn 
hàng ngày cho như sau:
 Số đơn vị chất dinh dưỡng có trong 1 
 Nhu cầu về chất 
 Chất dinh dưỡng đơn vị thức ăn
 dinh dưỡng
 I II
 A
 6 2 1
 B
 14 2 3
 C
 12 1 4
Hãy xác định lượng thức ăn mỗi loại cần có trong khẩu phần thức ăn hàng ngày 
để đảm bảo yêu cầu về chất dinh dưỡng và giá thành khẩu phần thức ăn rẻ nhất. 
Biết rằng giá một đơn vị thức ăn loại I và loại II lần lượt là 1 (nghìn đồng) và 2 
(nghìn đồng).
Giải:
 Gọi x, y theo thứ tự là số đơn vị thức ăn loại I, loại II cần cho khẩu phần ăn 
mỗi ngày (x 0, y 0) . Như vậy giá thành cho một khẩu phần thức ăn là 
 M x 2y (nghìn đồng) và số đơn vị chất dinh dưỡng A có trong khẩu phần 
thức ăn là 2x y , số đơn vị chất dinh dưỡng B có trong khẩu phần thức ăn là 
 2x 3y , số đơn vị chất dinh dưỡng C có trong khẩu phần thức ăn là x 4y .
 Vì nhu cầu chất dinh dưỡng A là 6 đơn vị, nhu cầu chất dinh dưỡng B là 14 
đơn vị, nhu cầu chất dinh dưỡng C là 12 đơn vị nên x, y phải thỏa mãn hệ bất 
phương trình:
 2x y 6
 2x 3y 14
 x 4y 12
 x 0
 y 0
Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình, tìm nghiệm 
 (x x0; y y0 ) sao cho M x 2y nhỏ nhất 
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần để trắng (như hình 1.5)
Ta tính giá trị của biểu thức M x 2y tại tất cả các điểm ABCD, ta thấy M 
nhỏ nhất khi x 4, y 2 .
Vậy giá thành rẻ nhất, cần 4 đơn vị thức ăn loại I và 2 đơn vị thức ăn loại II.
 11 0 x 600
 0 y 500
 400 x y 1000
 x 2y 0
 3x y 0
Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình, tìm nghiệm 
 (x x0; y y0 ) sao cho M 9x 12y nhỏ nhất 
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là lục giác ABCDEF (như hình 1.6)
Ta tính giá trị của biểu thức M 9x 12y tại tất cả các điểm ABCDEF, ta thấy 
 800 400
M nhỏ nhất khi x , y .
 3 3
 800 400
Vậy giá thành rẻ nhất, khi dùng mỗi ngày đơn vị vitamin A và đơn vị 
 3 3
vitamin B.
 Hình 7
 Qua những ví dụ trên học sinh sẽ khắc sâu được vốn kiến thức đã học về 
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn từ đó giải quyết tốt các bài toán nảy sinh 
trong thực tế. 
2.3.3 Bài tập đề nghị:
 13