Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy hàm qua các bài tập giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN 
 TRƯỜNG THPT KIM ĐỘNG 
 ---------- 
 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 RÈN LUYỆN TƯ DUY HÀM 
QUA CÁC BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ 
 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 Giáo viên: Đinh Văn Hữu 
 Đơn vị: Trường THPT Kim Động 
 Kim động, tháng 5 - 2013 
 Cho phương trình: f(x) = g(x) xác định trên D. 
 Nếu một trong hai hàm số f(x) hoặc g(x) là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng 
 hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy 
 nhất. 
 Tính chất 2: 
 Cho phương trình f(x) = m xác định trên D. 
 Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là m thuộc miền giá trị của 
 hàm số f(x). 
 Tính chất 3: 
 Cho phương trình f(x) = m xác định trên D 
 Nếu f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên có 
 không quá một nghiệm. 
 Tính chất 4: 
 Cho bất phương trình: f(x) > m (hay f(x) < m ) 
 i) Nếu f(x) là hàm đơn điệu tăng trên D và tồn tại x0 D sao có f(x0) = m thì 
 tập nghiệm của bất PT là: T = D  (x0 ; + ) ( T = D  (- ; x0 )) . 
 ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x0 D sao có f(x0) = m thì tập 
 nghiệm của bất PT là: T = D  (- ; x0 ) (T = D  (x0 ; + ) ). 
 Tính chất 5: 
 Cho hàm số f(x) xác định trên D 
 1. f(x) m ,  x D m minf ( x ) 
 x D
 2. f(x) m , x D m maxf ( x ) 
 x D
 3. f(x) m có nghiệm x D m maxf ( x ) 
 x D
 4. f(x) m có nghiệm x D m minf ( x ) 
 x D
 5. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu tăng trên D và tồn tại u, v D. Khi đó: 
 f()() u f v u > v , f(u) = f(v) u = v 
 6. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu giảm trên D và tồn tại u, v D. Khi đó: 
 f()() u f v u < v , f(u) = f(v) u = v 
1. ứng dụng hàm số để giải phương trình 
Phương pháp : 
 3 
 Bước 2: Xét hai hàm số y1 f( x ); y 2 g ( x ) trên D 
 ' '
 * Tính y1 , xét dấu y1 , kết luận tính đơn điệu của hàm số y1 f() x trên D 
 ' '
 * Tính y2 ,xét dấu y2 , kết luận tính đơn điệu của hàm số y2 g() x trên D 
 * Tìm x0 sao cho f()() x0 g x 0 (hoặc tìm u0 sao cho f()() u0 g u 0 ) 
 * Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc là hàm hằng) thì 
 f()(), x g x x x0 x D (hoặc f()(), u g u u u0 x D ) 
 Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc là hàm hằng) thì 
 f()(), x g x x x0 x D (hoặc f()(), u g u u u0 x D ) 
 Bước 3: Kết luận nghiệm của bpt đã cho 
Dạng 2: BPT biến đổi được về dạng f()() u f v trong đó u u() x , v v() x 
 Bước 1: Biến đổi bpt về dạng f()() u f v 
 Bước 2: Xét hàm số y f() x trên D 
 * Tính y ' , xét dấu y'. Kết luận hàm số y f() x đơn điệu trên D. 
 * Nếu f(x) đơn điệu tăng thì: f()(), u f v u v x D 
 Nếu f(x) đơn điệu giảm thì: f()(), u f v u v x D 
 Bước 3: Kết luận nghiệm của bpt đã cho 
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
 a. x 1 x 6 x 2 6 
 2x 5 x 1 1 1
 b. e e 
 2x 5 x 1
 2 2
 c. 8log2(x - x + 5) = 3(x - x + 5) 
 2
 d. 2x x 2 x 1 (x 1) 2 
 Trước hết, ta nhận thấy các phương trình trên không giải được bằng các 
phương pháp thông thường hoặc có giải được thì cũng rất khó khăn. Ta sẽ tìm cách 
để sử dụng hàm số giải các phương trình này. 
 5 
 Với phương trình này ta chưa thể có hàm số giống như hai câu trên mà ta phải biến đổi để 
tìm được hàm số mà ta muốn xét. 
 TXĐ: D =  
 log (x2 x 5) 3
 Trên D (1) 2 ( do x2 x 5 > e > 0 ) 
 x2 x 5 8
 log t 3
Đặt t = x2 x 5 với t > e, thì phương trình trên trở thành: 2 (2) 
 t 8
 log t
Xét hàm số: f() t 2 với t > e 
 t
 1 ln t
 Ta có f'( t ) e 
 t2 ln 2
Từ đó, vế trái của phương trình (2) là hàm nghịch biến  t > e; vế phải là hằng số 
Do đó phương trình (2) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. 
 3
Mặt khác f (8) Phương trình (2) có nghiệm duy nhất t = 8 
 8
 1 13 1 13
Với t = 8 ta có x2 x 5 8 x = ; x = 
 2 2
 1 13 1 13
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = ; x = 
 2 2
 2
d. 2x x 2 x 1 (x 1) 2 (1) 
Tương tự như câu c) đối với phương trình này ta cũng cần biến đổi để xuất hiện hàm số cần xét. 
TXĐ: D =  
 2 2
Trên D; (1) 2x x 2 x 1 x 2 2 x 1 2x 1 x 1 2 x x x 2 x 
Xét hàm số f( t ) 2t t với t  
 f’() t 2.ln2t 1 0  t  f(t) là hàm số đồng biến trên  
Mặt khác (1) f(x - 1) = f(x2 - x) x - 1 = x2 - x x2 - 2x + 1 = 0 x = 1 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 
Bài 2: Giải các bpt sau: 
 a. x 6 x 2 4 x 3 
 7 
Điều kiện: x 1 0 x 1 . Vậy TXĐ: D = 1; 
(1) 32(x 1) 1 2(x 1) 3 x x 2 2 x 1 
 32(x 1) 1 2(x 1) 3 ( x 1) 1 ( x 1) 2 (2) 
Xét hàm số f( t ) 3t 1 t 2 , thấy ngay hàm số đồng biến trên D. 
Vậy trên D; (2) f(2( x 1)) f ( x 1) 2( x 1) x 1 
 2(x 1) ( x 1),(2 do x 1) x2 4 x 3 0 x = 1 hoặc x 3. 
Vậy nghiệm của bpt là x = 1 và x 3. 
Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 
 2
 3 x 2 x 3 y
 2
 3 y 2 y 3 x
 Giải: 
Điều kiện x 0, y 0 . Hệ đã cho trở thành: 
 2
 3 x 2 x 3 y 2 2
 3 x 3 x 3 3 y 3 y 3 (1) 
 2
 3 x 3 y 2 y
Xét hàm số f( t ) 3 t2 3 t 3 
 + TXĐ: D 0; 
 t 3
+ Đạo hàm f'( t ) 0,  t 0 suy ra hàm số đồng biến trên D. 
 3 t2 2 t
Vậy trên D, phương trình (1) được viết dưới dạng f()() x f y x y . 
 3 x2 2 x 3 y 3 x2 3 x (2)
Khi đó hệ đã cho trở thành 
 x y x y
Giải (2): Ta đoán được x=1 là một nghiệm của (2), mặt khác dễ nhận thấy phương trình (2) có 
vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến. 
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT (2), Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=y=1. 
Nhận xét: Đối với hệ phương trình, hệ bpt nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi làm xuất hiện các 
phương trình giải được bằng phương pháp hàm số để đưa về mối quan hệ giữa các ẩn số đơn 
giản hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giải tiếp. 
 9 
 f(x) 
 Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y 
= m. 
 Dựa vào bảng biến thiên ta có kết quả biện luận sau: 
 3
 - Nếu m < , đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = f(x), do đó phương 
 2
trình (1) vô nghiệm. 
 3 1
 - Nếu m < , đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 1 điểm, do đó 
 2 2
phương trình (1) có 1 nghiệm. 
 1
 - Nếu m , đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm, do đó phương 
 2
trình (1) có 2 nghiệm. 
b) mx 1 ( m2 x 2 2 mx 2) x 3 3 x 2 4 x 2 
 2 3
Viết lại phương trình dưới dạng mx 1( mx 1) 1 ( x 1) ( x 1) 
 3
 mx 1 mx 1 ( x 1)3 ( x 1) (2) 
Xét hàm số f() t t3 t là hàm số đồng biến trên  
Vậy (2) f( mx 1) f ( x 1) mx 1 x 1 
 x 1 x 1
 ()I
 mx 1 x 1 ( m 1) x 2 (3)
 x 1 x 1
 (4) (II )
 mx 1 x 1 ( m 1) x 0
+ Giải và biện luận (I) 
 - Với m=1 thì (3) vô nghiệm nên (I) vô nghiệm 
 11 
 2 2
d) log2x 32log( x 1 x m ) x 32 x - x + m = 0 (1) 
 2
Viết lại phương trình dưới dạng: 
 2 2
 log2x 32 x x 32log( x 2 x m ) x m (2) 
Điều kiện: x2 - 3x + 2 > 0 x 2. TXĐ: D = ( ;1)  (2; ) 
Xét hàm số f( t ) log2 t t đồng biến trên khoảng (0; ). Vậy trên D, 
phương trình (2) trở thành : f( x2 3 x 2) f ( x m ) x 2 3 x 2 x m 
 x m 0
 ()I 
 2
 (2m 3) x m 2 (3)
Biện luận: 
 3
 - Với 2m - 3 = 0 m , khi đó (3) vô nghiệm nên (I) vô nghiệm 
 2
 3 m2 2
 - Với 2m 3 0 m , khi đó (3) có nghiệm duy nhất x , là 
 2 2m 3
 m 1
 m2 2 m 2 3 m 2
nghiệm của (I) khi m 0 3 
 2m 3 2 m 3 m 2
 2
Kết luận: 
 3 m2 2
 - Với m ;1  ;2 thì phương trình có nghiệm x 
 2 2m 3
 3 
 - Với m 1;  2; thì phương trình vô nghiệm. 
 2 
III. Dạng 3: Sử dụng hàm số tìm điều kiện của tham số để phương trình, bpt thoả mãn điều 
kiện cho trước. 
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 2x2 2( m 4) x 5 m 10 3 x 0 (1) (m - tham số) 
 13 
 1 t 2
 2 ()I
 t 3
 m 
 t 1
(4) 1 
 t 1
 2
 ()II
 t2 3
 m 
 t 1
 t2 3
 Xét hàm số: f(t) = 
 t 1
 t2 2 t 3 1 
 Ta có: f’(t) = < 0  t ; 1  1 ; 2 
 2 
 (t 1) 2 
 Do đó ta có bảng biến thiên: 
 1
 t - 1 2 + 
 2
 f’(t) - - 
 + 
 7 
 f(t) 13 
 2 
 - 
 Dựa vào bảng biến thiên ta có bpt (4) có nghiệm hệ (I) có nghiệm hoặc hệ (II) có 
 13
 m 
nghiệm 2 
 m 7
 13
 m 
 Vậy bpt (3) có nghiệm 2 
 m 7
Bài 7: Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x  
 cos4x - 5cos3x - 36sin2x - 15cosx + 36 + 24m - 12m2 0 (5) (m - tham số) 
Giải: TXĐ: D =  
 Trên D, (5) 3cos4x - 20cos3x + 36cos2x + 24m - 12m2 0 
 15