Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

 SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
 và hệ phương trình đại số 
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. Lời giới thiệu 
 Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia các năm trước đây hoặc các đề thi 
học sinh giỏi, các bài về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số 
là các bài vẫn thường xuất hiện, tuy nhiên nó lại là một câu khó để lấy điểm cao. 
Một trong những phương pháp phổ biến khi giải phương trình, bất phương trình 
và hệ phương trình đại số là phương pháp phân tích thành nhân tử. Mặc dù khi học 
các thầy, cô đã dành khá nhiều thời lượng để giảng dạy và luyện tập cho học sinh 
các kỹ thuật tách, nhóm để phân tích thành phương trình, bất phương trình tích còn 
học sinh nghe thì hiểu cách làm nhưng vẫn thắc mắc: "Tại sao lại làm như vậy?". 
Sách, tài liệu tham khảo và thầy cô chỉ nêu cho học sinh phương pháp và một số 
kinh nghiệm khi lựa chọn phương pháp vào một số bài cụ thể nên học xong, đọc 
xong học sinh vẫn cảm thấy rất mơ hồ. Chính vì vậy khi đứng trước một bài toán 
mới học sinh cảm thấy rất lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và không biết phải 
lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp, bài nào có thể áp dụng phương pháp phân 
tích thành nhân tử và nhóm, tách ra sao để biến đổi phương trình, bất phương trình 
thành phương trình và bất phương trình tích. Đối với học sinh khá - giỏi cũng phải 
thử hết cách này sang cách khác rất mất thời gian, đối với học sinh trung bình và 
yếu thậm chí còn không tìm được lời giải.
 Sau một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi: "Giải toán trên máy tính cầm tay", 
tham khảo các tài liệu qua mạng internet và đặc biệt là bài viết của đồng nghiệp, 
của học sinh được chia sẻ trên facebook tôi thấy được máy tính cầm tay chính là 
một "vũ khí" đắc lực trong việc giải phương trình, bất phương trình và đặc biệt là 
hệ phương trình đại số.
 1 SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
 và hệ phương trình đại số 
 - Số điện thoại: 0982843827
 E_mail: vuthithanhnga.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.n
IV. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Vũ Thị Thanh Nga. 
V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10. 
VI. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Năm 2015.
VII. Mô tả bản chất của sáng kiến:
 ❖ Một số lưu ý trước khi đọc bài viết
- Trong toàn bộ bài viết này đều hướng dẫn sử dụng trên máy tính Casio fx - 
570ES, các máy tính có cùng chức năng thao tác tương tự.
- Việc giới thiệu quy trình nhìn thì dài nhưng khi thực hiện rất nhanh, không mất 
nhiều thời gian.
 1. Sử dụng máy tính Casio khi giải phương trình và bất 
 phương trình đại số
1.1. Giải phương trình bậc 4
- Như ta đã biết máy tính giải được phương trình bậc 3 bất kì nhưng bậc 4 ta thì 
không. Nếu phương trình bậc 4 có nghiệm nguyên hoặc hữu tỷ thì ta cũng dễ dàng 
giải được bằng cách dùng lược đồ Hoone để phân tích thành phương trình tích bậc 
1 và bậc 3. Trong trường hợp phương trình bậc 4 có nghiệm lẻ thì ta sẽ phải làm 
thế nào? Máy tính cầm tay sẽ hỗ trợ tích cực trong việc đó.
 ❖ Phương pháp: Xét phương trình ax4 bx2 cx d 0 (a 0) (1.1).
 • Máy tính sẽ giúp ta tìm được các nghiệm gần đúng của (1.1) là: A, B, C, D 
 (về nguyên tắc là thế nhưng thường ta chỉ cần tìm 3 nghiệm là đủ).
 • Do (1.1) có thể viết thành: a'x2 b'x c' d'x2 e'x f ' 0. Nên ta có 
 thể thử 2 trong 4 nghiệm A, B, C, D xem 2 nghiệm nào có tổng và tích 
 3 SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
 và hệ phương trình đại số 
- Lưu nghiệm vào biến B RCL X Shift STO B . Nhấn nút đẩy lên để tìm phương 
trình đã lưu Sau đó bấm: shift solve . Máy hỏi Solve for X , ta bấm tiếp 9 máy 
 X 4.236...
báo . 
 R 3.5 10 12
Lưu nghiệm vào biến C RCL X Shift STO C .
- Bấm: Alpha A Alpha B , máy hiện kết quả 1.854... (lẻ nên bỏ qua).
- Bấm: Alpha A AlphaC , máy hiện kết quả 2.618... (lẻ nên bỏ qua).
- Bấm: Alpha B AlphaC , máy hiện kết quả 4 ( Tốt rồi, tiếp tục!) 
 Alpha B AlphaC máy hiện kết quả 1 . Vậy là xong rồi. Ta có lời giải như 
sau: 
Bài giải
 x4 3x3 6x2 3x 1 0 (x2 4x 1)(x2 x 1)
 x 2 5
 x2 4x 1 0
 2 1 5
 x x 1 x 
 2
 1 5 
Vậy, phương trình có nghiệm là: x 2 5;  .
 2  
 ❖ Bài tập vận dụng
Gải các phương trình sau
1.x4 6x3 3x2 18x 8 0
 2.x4 2x3 6x2 10x 5 0
 3.x4 22x2 5x 2 0
1.2. Giải phương trình và bất phương trình vô tỷ
 5 SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
 và hệ phương trình đại số 
- Bấm shift solve máy báo X 1 10 50 nghiệm này xấp xỉ bằng 0, tức vô 
nghiệm.
- Vậy ta chỉ có 2 nghiệm thôi, làm thế nào tìm được nghiệm lẻ nữa để kết hợp với 
A để áp dụng định lí Talet đảo tìm được phương trình nhận chúng là nghiệm.
* Cách 1: Mò phương trình bậc hai tạo ra nghiệm lẻ còn lại.
- Nghiệm đó là nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 .
- Thông thường là a = 1, c nguyên nên chủ yếu ta tìm b.
- Ta đã lưu nghiệm lẻ tìm được vào A, bây giờ ta lưu lại vào X bằng cách
 RCL A Shift STO X .
- Nhập: X 2 BX : B B 1
bằng cách 
 alpha X x2 alpha Balpha X alpha alpha Balpha alpha B 1
- Bấm CALL, máy hiện B? ta bấm tiếp 9 
- Bấm tiếp dấu " =" cho đến khi X 2 BX là số nguyên thì dừng.
- Ở bài này ta dừng ở B = -3 khi X 2 BX 3. Vậy: x2 3x 3là nhân tử cần tìm.
 ➢ Ta cũng có thể dùng tính năng table cho nhanh như sau:
- Bấm Mode 7.
- Máy hiện f(x) =, ta nhập: A2 XA 3 ( X chạy và A là nghiệm), rồi bấm "=".
- Máy hiện Start?, ta bấm -9= ( bắt đầu).
 7 SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
 và hệ phương trình đại số 
 4
- Điều kiện: x .
 5
 2
 (1.2) 3 5x 4 x 1 3 x 4 x 1 4 x 3x 3 0
 3 3 
 x2 3x 3 4 0
 5x 4 x 1 x 4 x 1 
 x2 3x 3 0
 3 3
 g(x) 4 0
 5x 4 x 1 x 4 x 1 
- Ta có: 
 3 5 3 1 
 g '(x) 2 1 2 1 0
 5x 4 x 1 2 5x 4 x 4 x 1 x 1 x 4 
 4
 x 
 5
 4 
Suy ra g(x) luôn đồng biến trên ; . Mà g(0) = 0 nên g(x) = 0 có nghiệm 
 5 
duy nhất x = 0.
 3 21
- Xét x2 3x 3 0 x . 
 2
 3 21
- Thử lại ta có kết luận: Phương trình có hai nghiệm x 0, x 
 2
 x2 2x 8
 Ví dụ 2: Giải phương trình x 1 x 2 2 (1.3)
 x2 2x 3 
Hướng dẫn quy trình
- Điều kiện: x 2 .
 9 SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
 và hệ phương trình đại số 
- Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).
- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách:
Đẩy phím lên trên tìm phương trình đã lưu rồi tiếp túc bấm
 shift solve 3 máy báo X 3.302... .
- Bấm RCL X Shift STO B ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào B).
- Vậy là đã tìm được hai nghiệm lẻ, ta tính tổng và tích của chúng xem có ra số 
nguyên hay không bằng cách
- Bấm: Alpha A Alpha B , máy hiện kết quả 3 (Đẹp quá rồi!).
- Bấm tiếp: Alpha A Alpha B , máy hiện kết quả 1
- Vậy (1.5) sẽ có nhân tử: x 2 x2 3x 1 .
Bài giải
- Điều kiện: x 2 .
*Cách 1
 x2 2x 8 x2 2x 8
 x 1 x 2 2 2 x 1 x 1 x 2
 x2 2x 3 x2 2x 3
 2x 1 x2 2 
 x 1 x 2 (1.4)
 x2 2x 3
 2 2
 2x 1 2 x2 2 x 1 2 x2 2x 3 x 2 0 (1.5)
 11 SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
 và hệ phương trình đại số 
 x 2
 x 4 x 1
 (1.6)
 x2 2x 3 x 2 2
 1.6 x 4 x 2 x3 x2 x 5
 x 4 x 1 x 2 x3 2x2 4x 1 0 (1.7)
 3 13
Ta thấy x 1 x 2 x không là nghiệm của phương trình (1.7) nên:
 2
 x 4 x2 3x 1 
 x2 3x 1 x 1 0
 x 1 x 2
 1.7 x 2
 3 13
 x 
 2
 x2 3x 1 0
 x 4
 x 1 0 (1.8)
 x 1 x 2
 x 2
 3 13
 x 
 2
Ta có: 1.8 x2 x 3 x 1 x 2 0
 2
 1 3
 x 2 x 2 x 2 0 (Vô nghiệm do VT > 0).
 2 4
 x 2
Vậy, phương trình (1.3) có hai nghiệm 3 13 .
 x 
 2
 13 SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
 và hệ phương trình đại số 
 2x 1 2 x 1 
 x 1 x2 6x 3 0
 x 1 2 2x 1 
 2
 1 3 
 2x 1 
 2 4
 x 1 x2 6x 3 0
 x 1 2 2x 1 
 x 1 x2 6x 3 0
 x 3 2 3;1  3 2 3; 
Vây, bất phương trình có tập nghiệm: S 3 2 3;1  3 2 3; .
 ❖ Bài tập vận dụng
Giải các phương trình, bất phương trình sau
1. x 1 x2 2x 3 x2 1.
2. 3x 1 x2 3 3x2 2x 3.
3. 33 x2 x2 8 2 x2 15 .
4. 2x3 3x2 6x 16 4 x 2 3 .
5. x 1 x2 2x 5 4x x2 1 2 x 1 
 15 SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
 và hệ phương trình đại số 
+ Nhập nguyên phương trình (2): X 2 XY 2Y 2 X 2Y bằng cách nhập trên 
máy tính: 
 AlphaX x2 AlphaX AlphaY 2AlphaY x2 AlphaX 2AlphaY (2.3)
Lưu ý: 
 • "AlphaX , AlphaY " gọi là biến X, biến Y nhưng với máy tính thì mặc định 
 X là biến và Y là tham số.
 • Dấu "=" trong (2.3) là dấu "=" màu đỏ Alpha trên bàn phím.
+ Sau đó bấm phím: Shift Slove .
+ Máy hiện Y ? : Máy hỏi giá trị ban đầu của Y là mấy để tìm X.
+ Khởi tạo giá trị ban đầu cho Y là 0 bằng cách nhập: 0 .
+ Máy tính hỏi: Slove for X thì bấm .
 X 0
+ Máy sẽ sử lí mất vài giây và màn hình cho kết quả: .
 R 0
Giải thích:
 • Khi Y = 0 thì X = 0( có thể ra nghiệm X = -1, không ảnh hưởng đến thuật 
 toán).
 • Sai số của nghiệm là: 0.
+ Tiếp theo ấn mũi tên sang trái để quay trở lại phương trình và khởi tạo lại cho Y 
= 1 thì được X = 2... cứ như vậy tới y = 5 thì được x = -6 và ta bẳng giá trị sau:
 17