Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp lượng giác hoá để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỉ

 Tên đề tài: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG 
TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
 Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, quá trình tìm tòi đúc kết nâng tầm 
giải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc biệt, 
giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, lôgic, người học sẽ tiếp thu và có nhiều cơ hội 
sáng tạo, đó cũng là đổi mới phương pháp dạy học.
 Là giáo viên dạy nhiều năm ở bộ môn toán THPT, tôi đã gặp không ít những trắc 
trở trong việc giảng dạy ở nhiều bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ 
phương trình vô tỉ. Vì mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải 
thể hiện được khái niệm toán học của nó. Trong các cách giải khác nhau đó, có cách giải 
thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính sáng tạo của toán học. Trong 
đề tài này tôi muốn hướng dẫn học sinh giải một số phương trình, bất phương trình và hệ 
phương trình vô tỉ bằng “ con mắt” của lượng giác.
 Từ những bài toán không chứa những yếu tố lượng giác, bằng phép đổi biến ta 
chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hoá. Do 
đó, qua công tác giảng dạy, đúc kết những kinh nghiệm nhiều năm của bản thân và việc 
học tập nghiên cứu khoa học, thử nghiệm trực tiếp nhiều năm của giảng dạy, tôi mạnh 
dạn trao đổi cùng đồng nghiệp kinh nghiệm của bản thân.
B. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
 Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượng 
giác hoá, đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản dạng toán, sử 
dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấn 
đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hoá.
 Những kiến thức liên quan:
1) Các hàm số cơ bản:
*) Hàm số: y sin x , y cos x .
 • Miền xác định: R .
 • Miền giá trị:  1;1.
 • Chu kì: 2 .
*) Hàm số: y tan x .
 • Miền xác định: x R : x k ,k Z .
 2
 • Miền giá trị: R .
 • Chu kì: .
*) Hàm số: y cot x .
 • Miền xác định: x R : x k ,k Z .
 • Miền giá trị: R .
 • Chu kì: .
 1 C. CƠ SỞ THỰC TIỄN:
 Trong trường THPT hiện nay có rất nhiều đối tượng học sinh, do đó công việc 
giảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng giải toán không phải là công 
việc đơn giản của mỗi giáo viên.
 Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh, tôi đã thực hiện nhiều biện 
pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó không thể thiếu phương pháp giảng dạy 
khoa học lôgic, tạo động lực để học sinh say mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên cơ sở khoa học 
mà người thầy đã gieo. Trong các biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà tôi 
đang trình bày và đề tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi, 
nó không phải là để dạy ở một lớp có nhiều đối tượng học sinh. Tuỳ thuộc vào yêu cầu 
rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải quyết.
 Năm học 2009 – 2010 tôi được phân dạy môn toán lớp 10A1 (là lớp chọn theo 
khối A của nhà trường), lớp 10A2 và tôi đã theo dạy các em cho đến lớp 12.
 Kết quả kiểm tra 2 nhóm học sinh (có học lục từ TB khá trở lên) cuối năm lớp 10 
về chủ đề: Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỉ thu được kết quả 
như sau:
 Giỏi Khá Trung bình Yếu
Nhóm Sĩ số
 SL TL% SL TL% SL TL% SL TL%
Nhóm1 20 2 10,0% 10 50,0% 7 35,0% 1 5,0%
Nhóm 2 16 0 0,0% 8 50,0% 6 37,5% 2 12,5%
D. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
DẠNG 1: Trong bài có chứa biểu thức dạng a 2 x 2 .
Phương pháp: Ta đặt x a sin , với ; (hoặc x a cos , với 0; ).
 2 2 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x 3 3x 1 x 2 .
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu a 2 x 2 với a 1.
 Giải:
Điều kiện: 1 x 2 0 x 1. (*)
Với điều kiện (*) ta đặt x cos , 0; . (**)
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
 (**)
4cos3 3cos 1 cos 2 cos3 sin cos3 sin 
 cos3 cos 
 2 
 x cos
 k 8 8
 3 k2 
 2 8 2 (**) 5 5 
 x cos .
 8 8
 3 k2 k 
 2 4 3 3 
 x cos
 4 4
 5 3 
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x cos , x cos , x cos .
 8 8 4
 3 Giải: 
ĐK: 1 x, y 1.
 x sin 
Ta đặt với ,  ; .
 y sin  2 2 
Khi đó hệ được đưa về dạng:
 sin cos  1
 sin cos  1 sin cos  1 
 ...  0 ...
 sin  cos 1 sin(  ) 0 
  
  0
 x y 0
 .
  x y 1
 2
Vậy hệ có 2 nghiệm (0;0),(1;1) .
 1 x 2 y 0
Ví dụ 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm: . (1)
 3mx 3y 5m
 Giải: 
ĐK: 1 x 1.
Ta đặt x cost,t 0; .
Khi đó từ (1) có dạng:
3mcost 3 1 cos 2 t 5m 3cos 3sin t 5m (2)
Để hệ (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn sin t 0
 (3m) 2 9 (5m) 2 3
 ... m 0.
 sin t 3mcost 5 0 4
 3
Vậy m 0.
 4
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Giải các PT, BPT, Hệ PT sau:
1) x 3 (1 x 2 )3 x 2(1 x 2 ) .
 2 1 2 2 2 1
ĐS: PT có 2 nghiệm: x ; x .
 2 2
2) 1 1 x 2  (1 x)3 (1 x)3  2 1 x 2 .
 2
ĐS: PT có 1 nghiệm: x .
 2
 1 1 2
3) 2 .
 x 1 x 2 3
 1 3x
4) 2 1.
 1 x 1 x 2
5) x 2 x 2 2 .
 5 1 
Với điều kiện (*) ta đặt x ,t 0; \ . 
 cost 2 
 1 cost 1 3 5
Bất phương trình trở thành . . (2)
 cost cost sin t 2
Xét hai trường hợp:
TH1: t 0; .
 2 
Phương trình (2) có dạng:
 1 1 3 5
 2(sin t cost) 3 5 sin t.cost . (2’)
cost sin t 2
 u 2 1
Đặt u sin t cost(u  2; 2) sin t.cost .
 2
BPT (2’) trở thành:
 u 2 1 5 3
2u 3 5. ... u ...
 2 3 5
TH2: t ; .
 2 
 1 5
Ví dụ 8: Giải bất phương trình x .
 x 2 1 2
HD: 
ĐK: x 1.
 1 
Ta đặt x ,t 0; \ . (**)
 cost 2 
Khi đó BPT có dạng:
 1 cost 1 5
 . .
cost sin t cost 2
Xét hai trường hợp:
TH1: t 0; .
 2 
TH2: t ; .
 2 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
 x 35
1) Giải phương trình: x .
 x 2 1 12
 5 5
ĐS: Phương trình có 2 nghiệm: x ; x .
 4 3
 7 
Đặt x a tan t , với t ; .
 2 2 
 2a 2
Bất phương trình đã cho trở thành: a 2 tan 2 t a 2 a tan t ...
 a 2 tan 2 t a 2
 1 1 a
 2sin 2 t sin t 1 sin t 1 tan t x .
 2 3 3
 a
Vậy BPT có nghiệm đứng x .
 3
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình: x x 2 11 31.
ĐS: x 5 .
 5a 2
2) Giải bất phương trình: 2(x x 2 a 2 ) .
 x 2 a 2
DẠNG 4: Dạng khác.
Ví dụ 12: Cho phương trình x 1 x m (với m là tham số) (1) 
a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Giải phương trình khi m 1.
 Giải:
 x 0
ĐK: 0 x 1.
 1 x 0
 2 2 x cost 
Ta thấy rằng ( x) ( 1 x) 1, nên ta đặt , với t 0; .
 1 x sin t 2 
 m
Khi đó phương trình trở thành: cost sin t m cos(t ) (1’)
 4 2
 m
a) Điện để (1) có nghiệm (1’) có nghiệm 1 1 2 m 2 .
 2
 1
b) Khi m 1, phương trình đã cho trot thành: cos(t ) 
 4 2
 t 
 cos(t ) cos 2 (do t 0; )
 4 4 2 
 t 0
*) Với t x 0 x 0 .
 2
*) Với t 0 x 1 x 1.
Vậy khi m 1 phương trình (1) có 2 nghiệm x 0, x 1.
Lưu ý: Bài toán trên ta có thể giải bằng phương pháp khác.
Ví dụ : Giải bất phương trình 1 x 1 x x .
 1 x 0
ĐK: 1 x 1. (*)
 1 x 0
 9 G. ĐỀ NGHỊ:
Trong thời gian tới, nếu có điều kiện tôi sẽ mở rộng nghiên cứ đề tài này.
Trên đây là một phương giải phương trình, BPT, hệ phương trình vô tỉ bằng phương 
pháp lượng giác hóa trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Tuy nhiên, đề tài trên 
không tránh khỏi những thiếu sót cần bổ sung. Tôi rất mong được sự góp ý quý đồng 
nghiệp để SKKN của tôi hàn thiệ hơn.
Xin trân thành cảm ơn!
H.TÀI LỆU THAM KHẢO:
1. Phương pháp giải toán – Lê Hồng Đức (chủ biên).
2. Phương trình và bất phương trình – Phan Huy Khải.
3. Giải tích hiện đại – Vũ Tuấn (3 tập).
4. Một số số báo “ Toán học và tuổi trẻ”.
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Triệu sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2013.
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
 không sao chép nội dung của người khác
 Người viết
 LÊ VĂN THẮNG
 11