Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng véc tơ giải toán hình học

 SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 
 ________________________________________________ 
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. LỜI GIỚI THIỆU
 Hình học là môn học hay và khó đối với các em học sinh THCS. Khi học lên 
THPT, các em được cung cấp thêm kiến thức hình học mới như véc tơ để thêm công 
cụ nghiên cứu hình học. Tuy vậy, do là kiến thức mới mẻ, kĩ năng của học sinh còn 
nhiều hạn chế, các tài liệu tham khảo thường chỉ là tập hợp các bài giải có sử dụng 
kiến thức véc tơ mà không có định hướng kiến thức, kĩ thuật sử dụng... nên ý thức sử 
dụng cũng như kĩ năng thực hành giải toán của các em học sinh còn hạn chế, dẫn đến 
việc học sinh THPT chỉ đơn thuần biết đến các dạng toán thực hành biến đổi véc tơ 
mà ít khi thấy được ứng dụng, sức mạnh của kiến thức mới. Lý do như kiến thức 
mới mẻ, các dạng toán đa dạng nhưng khó mà đôi khi không rõ ứng dụng, cách giảng 
dạy còn hànlâmkhiến cho người học là học sinh gặp nhiều khó khăn, lúng túng. 
 Với tham vọng hướng dẫn cho các em học sinh THPT có thêm một công cụ 
giải toán mới đồng thời giúp các em thấy được cái hay cái đẹp của kiến thức mới mẻ 
này. Đề tài mong muốn: 
 - Thể hiện véc tơ có thể ứng dụng giải toán.
 - Rèn luyện kỹ năng sử dụng véc tơ để giải toán: rèn luyện sử dụng các phép 
toán véc tơ, xây dựng bộ véc tơ gốc, cách biểu diễn véc tơ.
 - Giúp cho học sinh thấy được sức mạnh của phương pháp, ứng dụng của kiến 
thức.
 Các bài tập sử dụng dưới đây là kết quả sưu tầm của tác giả, hầu hết lời giải đều do 
tác giả tự thực hiện.
2. SÁNG KIẾN “ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ” 
3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
 - Đỗ Xuân Thủy
 - Trường THPT Ngô Gia Tự
 - Số điện thoại:0914334575 
 E_mail:doxuanthuy.phttrieuthai@vinhphuc.edu.vn
4. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: 
 Sáng kiến áp dụng cho học sinh lớp 10 khi bắt đầu học về khái niệm véc tơ, 
học sinh lớp 11 khi học về véc tơ trong không gian; nâng cao năng lực toán học hình 
học véc tơ cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Mục tiêu:
 1 SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 
 ________________________________________________ 
 a.b
 8. cos a;b .
 | a || b |
 II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
 1) 3 điểm A, B, C thẳng hàng nếu thoả mãn một trong các trường hợp sau:
 AB k AC
 a) Tồn tại một số k sao cho .    
 b) Với mọi điếm S, nếu tồn tại đẳng thức: SA xSB ySC với x y 1.
    
 Lưu ý, nếu chỉ có đẳng thức SA xSB y AC thì ta chỉ chứng tỏ được rằng 4 
 điểm S, A, B, C đồng phẳng. 
 2) Cho ba véc tơ không đồng phẳng a,b và c . Khi đó mọi véc tơ x đều phân 
 tích được một cách duy nhất theo ba véc tơ a,b và c , nghĩa là có duy nhất một 
 cặp số m,n, k và p sao cho x ma nb pc .
 Bình luận: đây là cơ sở cho phương pháp ứng dụng véc tơ chứng minh hình 
 học bằng việc xây dựng một bộ 3 véc tơ không đồng phẳng hợp lý.
 3) 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng nếu thoả mãn một trong các trường hợp sau:
 a) 3 véc tơ AB, AC, AD đồng phẳng.
     
 b) Với mọi điếm S, nếu tồn tại đẳng thức: SA xSB ySC zSD với x y z 1.
 Ngược lại:    
 1) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng. với một điểm S bất kì, ta có: SA xSB ySC 
 thì x y 1.
   4a).   Cho  4 điểm A, B, C, D đồng phẳng. với một điểm S bất kì, ta có: 
 SA xSB ySC zSD thì x y z 1.
 4b). 3 véc tơ a,b,c đồng phẳng (x,y) : a xb yc.
 CHƯƠNG II: MỘT VÀI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
I. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRÊN MẶT PHẲNG
 Khi dạy và học về véc tơ, ta thấy được một số ứng dụng của véc tơ như 
chứng minh hai tam giác cùng trọng tâm, CM thẳng hàng, vuông góc. Các ví dụ đưa 
ra đều quen thuộc, người HS ít đột phá sử dụng véc tơ để giải những bài toán hình 
học vốn đã được giải bằng một phương pháp khác.
 Đành rằng phương pháp véc tơ không hẳn có ưu điểm hơn các phương pháp 
khác, nhưng người HS cần có ý thức bồi dưỡng tư duy, ý thức tránh lối mòn trong tư 
duy, tìm hiểu khám phá vẻ đẹp của phương pháp. Các dạng toán sau đây rất quen 
thuộc với học sinh yêu hình học, nhưng đã có khi nào ta nghĩ rằng có thể sử dụng véc 
 3 SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 
 ________________________________________________ 
 Bài 2. Gọi K là trung điểm của cạnh AB của hình vuông ABCD, L là điểm chia trong 
 AL 
 đường chéo AC theo tỉ số . Chứng minh rằng: K· LD 900.
 LC 
Hướng dẫn. 
Phương pháp véc tơ:   
B1- Bài tập này ta có thể chọn bộ véc tơ gốc AB, AD chung gốc và vuông góc.
  1   3   
B2- Biểu diễn các véc tơ AK AB, AL AB AD (chú ý chúng chung gốc).
 2 4 
    1  3     3  1  
B3- Biểu diễn KL AK AL AB AD; KD AD AL AB AD .
   4 4 4 4
B4- Lấy tích vô hướng LK.LD 0. 
BÌNH LUẬN: Bài tập trên không khó giải với nhiều HS lớp 10. Ở đây ta rèn luyện 3 
kĩ năng: chọn bộ véc tơ gốc, biểu diễn véc tơ và tính tích vô hướng. Những kĩ năng 
này cần thiết cho nội dung véc tơ trong không gian học ở lớp 11, 12.
 Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC, H thuộc đoạn AC. Gọi 
 M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AH và DC. Chứng minh rằng: BM  
 MN. 
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
 N
 D C
 M H
 A B
Không giảm tổng quát ta chọn hình chữ nhật ABCD sao cho AB 1, AD d. 
   
B1- Chọn bộ véc tơ gốc AB, AD chung gốc và vuông góc.
 HA BA2 1
Ta có tính chất trong tam giác vuông: 
 HC BC 2 d 2
B2- Biểu diễn các véc tơ qua bộ véc tơ gốc:
 5 SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 
 ________________________________________________ 
    
 BE DE DB xa (y 1)c
 +     
 AE DE DA (x 1)a yc
     
 BE  AE BE.AE 0 x2 ty2 x tby 
    
 AF DF DA (kx 1)a (ky)c
 +    
 CF DF DC (kx)a (ky 1)c
     
 AF  CF AF.CF 0 k(x2 ty2 ) x ty 
Mặt khác   
  DB DC b 1 
 DM c
 2 2
   
  DE DF (k 1)xa (k 1)yc
 DN 
 2 2
    (k 1)xa (ky y b 1)c
 NM DN DM 
 2
  
    (kx x 2)a (ky 1)yc
 AN DN DA 
 2
  
 2 2 2 2 
MN.AN (k 1) k(x ty ) (x ty ) 2x tby ty 
Thay x2 ty2 x tby,k(x2 ty2 ) x ty vào biểu thức trên ta được:
   
 MN.AN 0 , suy ra điều phải chứng minh.
BÌNH LUẬN: Lời giải không phụ thuộc hình vẽ, tính toán nhiều tuy vậy phương 
pháp giải tiến hành lại rõ ràng.
2. Chứng minh quan hệ cùng phương, thẳng hàng, song song , đồng quy.
 Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng với D qua 
 trung điểm các cạnh của ∆ABC. CMR điểm D và trọng tâm của 2 tam giác ABC, 
 MNP thẳng hàng.
Hướng dẫn
 Phương pháp véc tơ:
 7 SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 
 ________________________________________________ 
Mà BE (BA BC) nên 
 BM kBC ( k)BA k  k
 . Do B, M, N thẳng hàng nên .
 k  k
 BN (k )BE kBC
 
 Từ đó tính được k (0< k< 1).
 
 Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng đi qua đỉnh A song song với BC cắt BD tại 
 M, đường thẳng đi qua đỉnh B song song với AD cắt AC tại N. CMR: MN// DC.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
 M
 A D
 O
 C
 B N
HD. Đặt ON nOA;OM mOB NM mnCD.
(Do ON/OA = OB/OD; OM/OB = OA/OC). 
 Bài 4. Cho ΔABC. Đương tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, AC tại M, N. Vẽ 
 đường trung bình DE (// AB) của tam giác. Đường phân giác góc B cắt DE tại P. 
 Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng. 
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
 Đặt AB = c, BC = a, CA = b. e,e ,e là các véc tơ đơn vị của tia BC, CA và AB. 
 + BC CA AB  ae be ce .
 + NA (p a)e ;AM (p a)e
 suy ra NM NA AM (p a)(e e ).
 9 SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 
 ________________________________________________ 
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 2;BC = 1. Từ B kẻ đường cao BH. 
 HA
Tìm tỉ số .
 HC
 A
 H
 2
 B
 1 C
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
 uur uur
 uuur uuur uur BA - kBC uuur uur uur
Giả sử HA = kHC Þ BH = ; CA = BA - BC
 1- k
uur uuur uur uur uur uur uur 2 uur 2 uur uur
BH.AC = 0 Þ (BA - BC)(BA - kBC) = 0 Û BA + kBC - (1+ k)BA.BC = 0 
 uur uur uur 2 uur 2 uur uur uur uur
 Mà 2BA.BC = BA + BC - (BA - BC)2 Þ 2BA.BC = 4 + 1- 4 = 1. 
 1+ k
 Vậy: 4 + k - = 0 Þ k = - 7 
 2
Bài 2. Cho tam giác KLM, trên cạnh KL lấy điểm A sao cho KA/AL = 1/3; trên cạnh 
LM lấy điểm B sao cho LB/BM = 4/1. Gọi C là giao điểm của KB và AM. Biết 
dt(KLC) = 2(đvdt). Tính diện tích của tam giác KLM.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
 L
 A
 B
 C
 K
 M
 11 SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 
 ________________________________________________ 
 A
 F
 K
 D
 B C
dt(ABF) FA    
 x Giả sử BF xBK (1). Giả thiết BK BA BD BA BC (2). 
dt(CBF) FC    
 BA xBC
Mà BF (3) nên từ (1)(2)(3) suy ra x = -3/2.
  x
Bài 5. (TH&TT T6/345) Trên 2 cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy 2 điểm 
 AE CD
E, D sao cho . Gọi M là giao điểm của BD và CE. Xác định vị trí của E, D 
 EB DA
sao cho diện tích tam giác BMC đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó theo diện tích 
của tam giác ABC.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
 AE CD  dt(ABC) dt(ABC) dt(BDC) AC BD
 Giả sử . Ta có . . .
 EB DA m dt(BMC) dt(BDC) dt(BMC) DC BM
 DA AC BD dt(ABC)
 Ta có m m . Đặt x (m )x. Ta đi tính x.
 DC DC BM dt(BMC)
 +) BD xBM MD ( x)MB 
 CD ( x)CB  x 
CM CA CB
  ( x) ( m)x x
 
 (2) (vì CD CA.). 
  m
 +) Giả sử 
 x  y  y m m 
 CM yCE ; m x 
 x  m ( m)x  m m(m )
 dt(ABC)  dt(ABC)
 Từ đây suy ra m   dt(BMC) .
 dt(BMC) m 
 13