Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lý Vi-et giải một số dạng toán phương trình bậc 2 quy về bậc 2 có tham số

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ET GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHƯƠNG 
 TRÌNH BẬC 2 QUY VỀ BẬC 2 CÓ THAM SỐ 
 NỘI DUNG 
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. 
 I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
 1) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. 
a) Định nghĩa. 
 Phương trình bậc hai đối với ẩn x R là phương trình có dạng: ax2 bx c 0 1 a 0 
b) Cách giải. 
 Tính b2 4 ac 
  Nếu 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. 
 b
  Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x x . 
 1 2 2a
  Nếu 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
 b b 
 x , x 
 12a 2 2 a
c) Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm. 
  Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R : ax2 bx c 0 1 a 0 có hai 
 b c
 nghiệm x, x thì S x x ,. P x x . 
 1 2 1 2a 1 2 a
  Dấu các nghiệm: 
  Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 . 
 0
  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu . 
 P 0
 0
  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương P 0. 
 S 0
 0
  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm P 0. 
 S 0
 2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 
 Trong phần này tôi sẽ trình bày phương pháp giải quyết một cách tổng quát một số dạng 
toán liên quan đến phương trình bậc 2, và quy về bậc 2 trong tập số thực R: Thay vì so sánh 
nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực , ta sẽ biến đổi để đưa về so sánh nghiệm 
của phương trình bậc 2 với số 0. 
Bài toán 1. Cho phương trình: ax2 bx c 0 1 a 0, x R 
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x . 
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x . 
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x 2 . 
d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x 2 . 
e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x 2 . 
 b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau: 
. TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t 2 P 0 . 
 0
. TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t 2 
 S 0
c) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: 
 0
 0 t1 t 2 P 0. 
 S 0
d) Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: 
 0
 0 t1 t 2 P 0 
 S 0
(Trong đó là biệt thức của phương trình (2), P t1., t 2 S t 1 t 2 ) 
Nhận xét: Trong các tài liệu sách giáo khoa, hoặc sách tham khảo, cách giải đưa ra đối với 
 a c 2
dạng toán này là đặt: t x2 a c x với điều kiện t , khi đó để giải quyết các yêu 
 4
cầu nêu trên học sinh sẽ lúng túng, đôi khi là không thể giải quyết nhất là đối với các em học 
sinh lớp 10,vì các em không được trang bị công cụ để so sánh nghiệm một phương trình bậc 2 
với một số thực khác 0. 
Bài toán 3. Cho phương trình: ax4 bx 3 cx 2 bx a 0 1 a 0 
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương. 
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm. 
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm. 
d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. 
Giải 
 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), chia cả hai vế phương trình (1) cho 
 x2 0 , ta được: 
 2
 1 1 
 a x b x c 2 a 0 2 
 x x 
 1
(Thông thường tới đây học sinh sẽ đặt t x t 2 , khi đó nhận được phương trình 
 x
 at2 bt c 2 a 0 và việc giải quyết các yêu cầu đặt ra sẽ khó khăn vì học sinh không được 
trang bị công cụ. Để giúp học sinh vượt qua trở ngại này chúng ta giải quyết như sau). 
 1 1
a) Vì x 0 , đặt t x 2 t 0 suy ra x t 2 , thay vào phương trình (2) được: 
 x x
 at2 4 a b t 2 a 2 b c 0 (3). 
 Để phương trình (1) có nghiệm x 0 thì phương trình (3) có nghiệm t 0 , ta xét: 
. TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t 2 P 0 
 0
. TH2: Phương trình (3) có nghiệm 0 t1 t 2 P 0 
 S 0
 1 1
b) Vì x 0 , đặt t x 2 t 0 suy ra x t 2 , thay vào phương trình (2) được: 
 x x 0
. TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t 2 
 S 0
(Trong đó là biệt thức của pt (3), S t1 t 2,. P t 1 t 2 ) 
Nhận xét: Khi gặp dạng toán này các em học sinh thường đặt t ax 2 bx c với điều kiện 
 b2 4 ac b2 4 ac 
 t nếu a > 0, t nếu a < 0. Phương trình nhận được t2  t  0 , 
 4a 4a
và để giải quyết các yêu cầu của bài toán học sinh sẽ gặp trở ngại vì cần so sánh nghiệm của 
một phương trình bậc 2 với một số thực khác 0. Chính vì thế với cách giải đã trình bày ở trên 
tạo cho các em học sinh rất hứng thú, vì các em có thể sử dụng một công cụ đơn giản, quen 
thuộc là định lý Viet để giải dạng toán này. 
Bài toán 5. Cho phương trình ax2 b x 2 c 0 1 với 0,a 0 . 
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm. 
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. 
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất. 
Giải. 
 ĐK x R . 
 2
 Đặt t x2 t 0 suy ra x2 t , thay vào pt (1) ta được phương trình: 
 at2 2 a b t b c 0 2 
a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm t 0 
. TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t 2 P 0 . 
 0
. TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t 2 P 0 
 S 0
 0
b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm thỏa 0 t1 t 2 P 0 
 S 0
c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau: 
 0
. TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t 2 P 0. 
 S 0
 0
. TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t 2 
 S 0
(Trong đó là biệt thức của pt (3), S t1 t 2,. P t 1 t 2 ) 
Nhận xét: Với dạng toán này hầu hết các sách tham khảo đều đặt t x2 t , và đưa 
về phương trình bậc 2 có dạng: at2 bt c a 0 , khi đó để giải quyết các câu hỏi đặt ra thì 
đều phải sử dụng tới định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, hoặc sử dụng công cụ 
đạo hàm. Cả hai cách này đều không phù hợp với tư duy, kiến thức của học sinh lớp 10, 11 và 
ngay cả đối với học sinh lớp 12, bởi vì công cụ dùng đạo hàm để giải không phải lúc nào cũng 
tối ưu. 
Bài toán 6. Cho phương trình: ax2 bx c x 1 
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm. 
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. 
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất. x b 0
 Phương trình (1) 2 
 x x  x b 2 
 Đặt t x b x t b , vì x b 0 nên ta suy ra điều kiện t 0 . Thay vào phương trình (2) ta 
 được phương trình: t2 2 b  1 t b 2  b  0 3 
a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t 0 
. TH1: Xét 0 , thay vào pt (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 0. 
 0
. TH2: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t 2 
 P 0
 0
 0
. TH3: Phương trình (3) có nghiệm 0 t1 t 2 
 P 0
 S 0
 0
 0
. TH4: Phương trình (3) có nghiệm 0 t1 t 2 
 P 0
 S 0
 0
 0
b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm 0 t1 t 2 
 P 0
 S 0
c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t 0 
. TH1: Xét 0 , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 0 
 0
. TH2: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t 2 . 
 P 0
 0
 0
. TH3: Phương trình (3) có nghiệm 0 t1 t 2 
 P 0
 S 0
 0
. TH4: Phương trình (3) có nghiệm 0 t1 t 2 0 
 S 0
Nhận xét: Đây là dạng toán giống với bài toán 6 đã giải quyết ở trên, ta cũng đã đưa về so sánh 
nghiệm của một phương trình có dạng bậc 2 với số 0.