Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương trình đại số lớp 10

 SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 
I. Lời giới thiệu 
 Hàm số bậc hai là một nội dung quen thuộc, cơ bản đối với học sinh lớp 10 khi học đại số, 
tuy nhiên việc đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số và đặc biệt là việc ứng dụng đồ thị của 
hàm số bậc hai để biện luận phương trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 với đa số học sinh 
vẫn còn lúng túng ngay từ những bài ở mức độ thông hiểu và vận dụng thấp và gây khá nhiều khó 
khăn đối với hầu hết học sinh ở lớp bài tập vận dụng cao. Trong khi đó việc ứng dụng đồ thị hàm số 
bậc hai để biện luận đặc biệt là biện luận số nghiệm của phương trình đại số lại là nội dung rất hay 
được sử dụng trong các đề thi khảo sát chất lượng và cũng xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh 
giỏi cấp tỉnh lớp 10. Đặc biệt trong những năm gần đây dạng toán đọc đồ thị, khai thác đồ thị là một 
trong những dạng toán chiếm tỉ lệ lớn trong đề thi THPT Quốc Gia. Tuy nhiên các sách tham khảo, 
sách bồi dưỡng về việc ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương 
trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 chưa nhiều, các ví dụ và bài tập vẫn ở những dạng cơ 
bản nhất chưa có nhiều bài toán mở rộng, bài toán đòi hỏi khai thác đồ thị ở mức vận dụng cao. 
 Với mong muốn sẽ đem đến thêm cho giáo viên và học sinh tài liệu “Ứng dụng đồ thị của 
hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10”, giúp cho học sinh sẽ có cái 
nhìn toàn diện hơn, dễ dàng giải quyết lớp bài toán này hơn và tạo điều kiện để học sinh được tiếp 
cận dần với dạng toán đọc và khai thác đồ thị của đề thi THPT Quốc Gia nên bằng kinh nghiệm 
giảng dạy của bản thân cùng với nguồn bài tập khá phong phú sáng tạo của tập thể giáo viên trên 
các nhóm, các diễn đàn mà tôi đã tham gia, tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, tập hợp viết sáng kiến kinh 
nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương trình đại số lớp 10”. 
 Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương 
trình đại số lớp 10” tôi viết đã cập nhật được mới, tính thực tế áp dụng trong giai đoạn hiện nay. Có 
nhiều ví dụ và bài tập chưa được công khai chia sẻ và cũng có bài tập lần đầu được giới thiệu do 
bản thân đã khai thác, phát triển từ bài toán gốc thành các bài toán mới. 
 Do thời gian và khả năng có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tôi viết vẫn còn nhiều tồn tại. 
Kính mong đồng nghiệp và học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn thiện hơn 
và sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích và thú vị cho giáo viên và học sinh. 
II. Tên sáng kiến: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình 
 đại số lớp 10 
III. Tác giả sáng kiến: 
 | 1 SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
 b 
+ Đỉnh I ; . 
 2a 4 a 
 b
+ Trục đối xứng là đường thẳng x . 
 2a
+ Bề lõm hướng lên trên nếu a 0 , hướng xuống dưới nếu a 0 . 
+ Giao điểm với trục tung là M 0; c . 
 a 0 a 0 
2. Đồ thị hàm số bậc hai chứa dấu giá trị tuyệt đối 
2.1. Đồ thị hàm số y a x2 bx c , a 0 
 2 2
Đặt f x ax bx c yax bxc fx C . 
 fx ; fx 0
Ta có y fx . 
 fx ; fx 0
Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số C từ đồ thị hàm số y f x như sau: 
 Giữ nguyên đồ thị y fx phía trên trục hoành. 
 Lấy đối xứng phần đồ thị y fx phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ). 
Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y fx . 
 Đồ thị y fx Đồ thị y fx 
 | 3 SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
B. PHƯƠNG PHÁP 
1. Bài toán: Dựa vào đồ thị của hàm số y fx biện luận theo tham số m số nghiệm của phương 
trình fx gm . 
2. Phương pháp: 
- Vẽ đồ thị C của hàm số f x ( có thể phải sử dụng các phép biến đổi đồ thị đã trình bày ở mục 
2 và 3 phần A ). 
- Tùy vào giá trị của g m để chỉ ra số giao điểm của đường thẳng dy: gm và C . 
- Số giao điểm của d và C cũng chính là số nghiệm của phương trình fx gm . 
*Lưu ý: Đường thẳng dy: gm là đường thẳng có phương ngang và cắt trục tung tại điểm có 
tung độ g m . 
C. CÁC VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Cho hàm số y x2 4 x 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị tìm các giá 
 2
trị của tham số m để phương trình x4 x 2 m có 2 nghiệm phân biệt. 
  Phân tích: Đây là bài toán đã cho đúng dạng của bài toán gốc nêu trên nên học sinh dễ 
 dàng vận dụng để tìm lời giải. 
 Lời giải 
Phương trình x2 4 x 2 m (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số P của 
hàm số y x2 4 x 2 và đường thẳng dy: m . 
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của P và d . 
Dựa vào đồ thị ta thấy, yêu cầu bài toán m 6 . 
Vậy m 6. 
Ví dụ 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sau: x2 4 x 3 m 0 . 
 | 5 SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
 Lời giải 
 11
Phương trình: 2x2 12 xm 6 1 0 xx2 6 5 3 m (1). 
 2
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số P yx 2 6 x 5 và 
 11
đường thẳng dy 3 m . 
 2
Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của P và d . 
 11 1 19
Dựa vào đồ thị ta thấy, yêu cầu bài toán 4 3m 5 m . 
 2 6 6
Ví dụ 4. Biện luận theo m số nghiệm phương trình xx2 2 2 2 m 0 trên đoạn  3;0 . 
  Phân tích: Tương tự như ở Ví dụ 3, bài toán đưa về việc biện luận theo m số giao điểm của 
 parabol và đường thẳng ứng với hoành độ thuộc đoạn  3;0 . Lưu ý các nghiệm tại các đầu 
 mút . 
 Lời giải 
Ta có xx22 2 2 m 0 xx 2 2 2 2 m (2) . 
Xét parabol (Pyfx ) : ( ) x2 2 x 2 với x  3;0có 
 Có đỉnh I 1;3 và parabol có bề lõm quay xuống. 
 f 3 1, f 0 2 . 
 Xét đường thẳng dy : 2 m . 
Số nghiệm của phương trình (1) trên đoạn  3;0 là số giao điểm của P và d . 
Từ đồ thị ta có 
 | 7 SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
b) Xét phương trình xx2 2 3 3 2 mxx 2 2 3 3 2 m 1 . 
 2
Đồ thị P:y1 x 2 x 3 và đường thẳng d:ym 3 2 m ( dm . 
Từ đồ thị P vẽ P1 bằng cách : 
 + Giữ nguyên phần đồ thị P ở phía trên trục Ox 
 + Lấy đối xứng phần đồ thị P ở phía dưới trục Ox qua trục Ox . 
 + Xóa bỏ phần đồ thị P ở phía dưới trục Ox . 
Vì số nghiệm của 1 bằng số giao điểm của P1 và dm nên 1 có 3 nghiệm phân biệt khi P1 và 
 dm cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. 
 1
Dựa vào đồ thị ta có 3 2m 4 m . 
 2
 1
Vậy, m . 
 2
Ví dụ 6. Tìm tham số mđể phương trình x2 2 x 2 m 4 0 có bốn nghiệm phân biệt. 
 | 9 SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
 2
Xét hàm số yfx x4 x 5 ta thấy đây là hàm số chẵn nên đồ thị P2 của nó nhận Oy 
làm trục đối xứng. 
 2 2
Mà yx 4 x 5 xx 4 5 nếu x 0 nên P2 gồm hai phần: 
-Phần 1: Là phần bên phải Oy của P1 kể cả giao điểm của P1 vàOy . 
-Phần 2 : Là phần đối xứng của phần 1 qua trục Oy . 
Tức P2 như hình sau đây: 
 fx ; fx 0
Xét hàm số yx 2 4 x 5 fx , ta có: y . 
 fx ; fx 0
Tức P gồm hai phần: 
-Phần 3: Là phần phía trên Ox của P2 kể cả các giao điểm của P2 và Ox . 
-Phần 4: Là phần đối xứng của phần phía dưới Ox của P qua trục Ox . 
 2 
Tức P như hình sau đây 
 | 11 SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
+ Bỏ đi phần đồ thị C nằm bên trái trục Oy . 
+ Lấy đối xứng phần đồ thị C đã giữ lại qua trục Oy . 
 f x 1
Ta có fx2 m2 fxm ( ) 3 0 . 
 fx 3 m
Từ đồ thị C1 ta có phương trình f x 1 có hai nghiệm là x 2, x 2 . 
Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt 
 phương trình fx 3 m có bốn nghiệm phân biệt khác 2 
 đường thẳng dy: 3 m cắt đồ thị C1 tại bốn điểm phân biệt khác hai điểm A và B 
 1 3m 3 0 m 4 . 
Do m nên m 1,2,3  . 
Vậy m 1,2,3  là các giá trị của tham số m cần tìm. 
 4 2
Ví dụ 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 x m 1 có bốn nghiệm 
phân biệt. 
  Phân tích: Hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối yx 4 2 x 2 là hàm số trùng phương nên dễ 
 dàng có thể chuyển về hàm bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ x2 u u 0 khi đó bài toán 
 được đưa về bài toán cơ bản. 
 Lời giải 
Ta đặt x2 u u 0 . 
 | 13 SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị của hàm số gtt 2 2 t 3, t 0 , ta thấy phương trình 1 có 
nghiệm 2 2m 1 m . 
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 
 3 x 6 xxx2 3 18 m . 
  Phân tích: Về ý tưởng tìm lời giải rất rõ ràng: đặt t 3 x 6 x thì phương trình trở 
 thành phương trình bậc hai cơ bản. Điều quan trọng trong bài này là phải tìm được miền 
 giá trị của t một cách chính xác với điều kiện xác định của x . 
 Lời giải 
Điều kiện 3x 6 . 
Đặt t 3 x 6 x . 
Với mọi x  3;6  ta có: 
 0 3 x 3
 3 3 xx 6 3 3 t 3 
 3 6 x 0
 Với t 3 khi x 3 ; t 3 khi x 6 
 Suy ra t  3;3 . 
 9 t 2
Ta có xx2 3 18 3 xx 6 . 
 2
Phương trình đã cho trở thành 
 9 t 2
t mtt2 2 9 2 m * . 
 2
Số nghiệm của phương trình * bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yft t2 2 t 9 , (với
 3t 3 ) và đường thẳng y 2 m . 
Xét hàm số ft t2 2 t 9 với 3t 3 có đồ thị như sau 
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình * có nghiệm t thỏa 3t 3 . 
Dựa vào đồ thị ta có 10 2m 6 5 m 3 . 
 | 15