Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hệ thức Vi-ét để ôn luyện thi vào 10

 UBND QUẬN HOÀNG MAI 
 TRƯỜNG THCS YÊN SỞ 
TIN BÀI: 
 ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT ĐỂ ÔN LUYỆN THI VÀO 10 
 A/ ĐẶT VẤN ĐỀ 
I. Mở đầu: 
 Chúng ta đã biết rằng dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh có 
những khái niệm, những định lí, những kiến thức., mà điều quang trọng hơn cả là 
người thầy phải dạy cho học sinh có được năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ được hình 
thành và phát triển trong hoạt động học tập. Việc đổi mới phương pháp dạy học là 
vấn đề cấp bách và cần thiết, nhằm hình thành cho học sinh thói quen tư duy tích 
cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện cho 
các em khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiển, đòi hỏi mỗi giáo viên đứng lớp 
phải có một phương pháp truyền đạt kiến thức phù hợp, có khả năng hệ thống, phân 
loại và chọn lựa các dạng bài tập phong phú, đáp ứng được yêu cầu tối thiểu của 
ngưòi học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong học tập của 
học sinh.Trong chương trình toán 9, lí thuyết phần lớn có tính chất hệ thống, cung 
cấp phương pháp, bài tập thì phong phú, rèn luyện được kỹ năng giải toán cho học 
sinh . Trong đó “Ứng dụng hệ thức Vi-ét” là phần kiến thức quan trọng, cơ bản của 
chương “Hàm số y = ax2 (a khác 0) – Phương trình bậc hai một ẩn”. Những bài 
toán có sử dụng hệ thức Vi ét rất phong phú, nhờ đó mà ta có thể giải quyết được các 
yêu cầu của bài toán. 
II. Cơ sở lí luận 
 Để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán thì 
việc tìm ra kết quả của một bài toán, phải được coi như là giai đoạn mở đầu cho một 
công việc. Trong quá trình dạy học toán nói chung và quá trình giải toán nói riêng, 
người dạy cần tạo cho học sinh thói quen là “sau khi tìm được lời giải một bài toán, 
dù lời giải bài toán đó đơn giản hay phức tạp, thì cũng cần tiếp tục suy nghĩ lật lại vấn 
đề, tìm thêm lời giải khác, cố gắng tìm ra phương án giải tối ưu nhất có thể được”. 
Hãy luôn nghĩ đến việc khai thác bài toán bằng các con đường tương tự hoá, tổng 
quát hoá, đặc biệt hoá để tạo ra bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có. Đối với việc 
học toán thì việc rèn luyện kỹ năng giải toán là hết sức cần thiết, cần phải rèn luyện 
thường xuyên kỹ năng giải toán bằng nhiều cách, giải nhiều bài tập thuộc nhiều dạng 
khác nhau, nhiều loại toán khác nhau và sau đó tựmình suy nghĩ rồi rút ra bài học 
kinh nghiệm. Trước khi giải một bài toán, nên tìm hiểu xem bài toán thuộc loại nào? Hãy lập phương trình bậc hai lần lượt chứa hai nghiệm trên 
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm 
của một phương trình cho trước: 
 2
V í dụ: Cho phương trình : x 3 x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x 2 . Không giải 
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 
 1 1
y1 x 2 và y2 x 1 
 x1 x2
Ta có: 
 1 1 1 1 x1 x 2 3 9
S y1 y 2 x 2 x 1( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) 3 
 x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 2
 1 1 1 1 9
P y y ( x )( x ) x x 1 1 2 1 1
 1 2 2x 1 x 1 2 x x 2 2
 1 2 1 2 
Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0 
 9 9
 hay y2 y 0 2 y 2 9 y 9 0
 2 2 
Dạng bài tập này đã khó hơn một chút, đòi hỏi học sinh phải biết suy luận.
Bài tập áp dụng: 
 2
1/ Cho phương trình 3x 5 x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x 2 . Không giải phương 
 1 1
trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x 1 và y2 x 2 
 x2 x1
 5 1
 (Đáp số: y2 y 0 hay 6y2 5 y 3 0 ) 
 6 2
 2
2/ Cho phương trình : x 5 x 1 0 có 2 nghiệm x1; x 2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có 
 4 4
ẩn y thoả mãn y1 x 1 và y2 x 2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của 
phương trình đã cho). 
 2
 (Đáp số : y 727 y 1 0 ) 
 2 2
3/ Cho phương trình bậc hai: x 2 x m 0 có các nghiệm x1; x 2 . Hãy lập phương 
trình bậc hai có các nghiệm y1; y 2 sao cho : 
 a) y1 x 1 3 và y2 x 2 3 
b) y1 2 x 1 1 và y2 2 x 2 1 
(Đáp án a) y2 4 y 3 m 2 0 b) y2 2 y (4 m 2 3) 0 ) 
Dạng 2:Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai 
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có 
 c
một nghiệm là x1= 1, còn nghiệm kia là x2 = 
 a Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = -2 và nghiệm còn lại là x = -1 
Ví dụ 3 : Cho phương trình : x2 7 x q 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai 
nghiệm của phương trình. 
Giải: 
Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x 2 11 và theo Vi-et ta có 
 x1 x 2 11 x 1 9
 x1 x 2 7, ta giải hệ sau: 
 x1 x 2 7 x 2 2
 Suy ra q x1 x 2 18 
Ví dụ 4: Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 qx 50 0, biết phương trình có 
2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 
Giải: 
Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 2 x 2 và theo Vi-et ta có 
 x1 x 2 50 . Suy ra 
 2 2 2 x2 5
 2x2 50 x 2 5 
 x2 5
 Với x2 5 thì x1 10 
 Với x2 5 thì x1 10 
Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 
Cho phương trình: ax2 bx c 0 (a 0) . Khi đó: 
1.Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 
 0
2.Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
 P 0
 0
3.Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0 
 S 0
 0
4.Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P 0 
 S 0
5.Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn 
 ac 0
nghiệm dương 
 S 0
Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 
 Phương trình có hai nghiệm 0 
Ví dụ1 : Không giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau: 
 a) x2 - 2 3 x + 4 = 0 
 b) x2 + 5x - 1 = 0 2 2 2 2 2
a/ xx12 ( x 1 2 xxx 122 ) 2 xx 12 ( xx 12 ) 2 xx 12 
 2
 b/ xx3 3 xxxxxx 2 2 xx xx 3 xx 
 12 121122 12 12 12 
 2 2
 44222222 22 2 22
 c/ xxx121 ( ) ( x 2 ) xx 12 2 xx 12 ( xx 12 ) 2 xx 12 2 xx 12 
 5 5 3 3 2 2 2 2
 d/ x1 x 2 = (x1 x2 )(x1 x2 ) x1 .x2 (x1 x2 ) 
 1 1 x1 x 2
 đ/ 
 x1 x 2 x 1 x 2
 2 2 2
 e/ x1 x 2 ? Ta biết xx12 xx 12 4 xxxx 1212 xx 12 4 xx 12 
 2 2 2
 g/ x1 x 2 x1 x 2 x 1 x 2 = (x1 x2 ) 4x1 x2 .(x1 x2 ) 
 2
 h/ x3 x 3 = xxxxxx 2 2 xx xx xx =. 
 1 2 121122 12 12 12 
 4 4 2 2 2 2
 i/ x1 x 2 = x1 x 2 x 1 x 2 = 
 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
 k/ x1 x 2 = ()()x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 = .. 
 6 6 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2
 l/ x1 x 2 (x1 ) (x2 ) (x1 x2 )(x1 ) x1 .x2 (x2 )  ... 
 2
 Ví dụ 1: Cho phương trình x + mx + 1 = 0 ( m là tham số) 
 Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: 
 2 2 3 3
a) x1 + x2 b) x1 + x2 c) x1 x 2 
Giải: 
Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có: 
 x1+ x2 = -m và x1.x2 = 1 
 2 2 2 2
 a) x1 + x2 = (x1 +x2) - 2x1x2 = m - 2 
 3 3 3 3
 b) x1 + x2 = (x1+x2) - 3x1x2(x1+ x2) = -m + 3m 
 2 2 2 2
 c) (x1 - x2) = (x1 +x2) - 4x1x2 = m - 4 nên x1 x 2 = m 4 
Ví dụ 2: Cho phương trình 
 2
 x - 4x + 1 = 0 . Không giải PT, tính giá trị của biểu thức 
 4
A 2 x1 8 x 1 9 5 x 1 
 ( với x1 là một nghiệm của phương trình đã cho) 
Giải: 
 2
 Ta phải biến đổi biểu thức dưới căn bậc hai thành dạng (5x1+a) để đưa 
 A về dạng A= 5x1 a 5 x 1 
Bằng cách xét dấu nghiệm của phương trình đã cho chứng tỏ 5x1+ a > 0 từ đó tính 
được giá trị của A. Sau đây là cách biến đổi cụ thể: 
 Vì x1 là nghiệm của phương trình đã cho nên : 
 2 4 2
 x1 = 4x1-1 x1 = 16x1 - 8x1+ 1 (thoả mãn điều kiện xác định ) 
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 
 x1 x 2 x 1. x 2 
 2
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 
thoả mãn 
 a) 3x1 + 2x2 = 1 
 2 2
 b) x1 -x2 = 6 
 2 2
 c) x1 + x2 = 8 
Giải: Để phương trình có nghiệm thì ' 0 m 1 
a) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ: 
 x1 x 2 2 (1)
 3x1 2 x 2 1 (2) Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7 
 x1 x 2 m (3)
 Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện) 
b) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ: 
 2 2
 x1 x 2 6 (1)
 5 1
 x1 x 2 2 (2) Giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 
 2 2
 x1 x 2 m (3)
 5
 Thay vào (3) ta được m = - (thoả mãn điều kiện) 
 4
 2 2 2
c) x1 + x2 = (x1+ x2) - 2x1x2 4 - 2m = 8 m = -2 (thoả mãn) 
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x2 - mx + 3 = 0 (m là tham số) 
 có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 = 6 
Giải: 
 Để phương trình có nghiệm thì 0 hay m2 - 12 0 
 m 2 3 hoặc m -2 3 
Kết hợp với hệ thức Viét ta có 
 x1 x 2 m (1)
 6 m 3m 6
 3x1 x 2 6 (2) giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 
 2 2
 x1 x 2 3 (3)
Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn) 
 2
Ví dụ 4: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x + 2mx + 4 = 0. 
 4 4
 Xác định m để x1 + x2 32 
Giải: 
 2
 Để phương trình có nghiệm thì ' 0 hay m - 4 0 m 2 
 4 4 2 2 2 2 2 2 2
Ta có: x + x = (x + x ) - 2x x = x x 2 x x 2( x x )2 
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2