Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề hướng dẫn học sinh tiếp cận công thức lượng giác

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRUNG TÂM GDTX – DN HOẰNG HÓA 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 TÊN ĐỀ TÀI
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI 
 QUYẾT VẤN ĐỀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN 
 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Duyên
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
 THANH HOÁ NĂM 2014 5. Cấu trúc của đề tài
 Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo nội dung 
chính của đề tài gồm:
 - Tổng quan về PPDH phát hiện và GQVĐ.
 - Vận dụng PPDH phát hiện và GQVĐ hướng dẫn HS bước đầu tiếp cận 
công thức lượng giác.
 B. NỘI DUNG
I. Tổng quan về phương pháp dạy học (PPDH) phát hiện và giải quyết vấn 
đề ( GQVĐ).
1. Khái niệm cơ bản
1.1. Vấn đề
 Có thể hiểu một cách ngắn gọn về vấn đề như sau:
 Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa có một thuật giải nào có 
thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán (chủ thể hiểu là người giải 
toán).
 Chú ý: Hiểu như trên thì vấn đề không đồng nghĩa với một bài toán. 
Những bài toán mà chỉ yêu cầu HS áp dụng trực tiếp các thuật giải thì không 
phải là những vấn đề.
 Ví dụ: Không sử dụng máy tính, bảng số hãy tính: sin 75 ?
 Đối với HS khối 10 khi chưa được học công thức cộng lượng giác, nếu 
không được sử dụng máy tính, bảng số để tính thì rõ ràng đây là một vấn đề. Vì 
nếu tính các em phải tách sin 75 sin(45 30 ) , sau đó sử dụng công thức sin của 
một tổng khai triển đưa về sin, cos của các góc đặc biệt mà các em đã biết.
1.2. Tình huống gợi vấn đề
 Tình huống gợi vấn đề: Là tình huống gợi cho HS những khó khăn về lí 
luận hay thực tiễn mà học thấy cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không 
phải ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua quá 
trình tích cực suy nghĩ, hoạt động tích cực để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc 
điều khiển kiến thức có sẵn.
 Tình huống gợi vấn đề cần thỏa mãn những điều kiện sau:
 Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn của thực tiễn với 
trình độ nhận thức, chủ thể phải nhận thức được sự khó khăn trong tư duy hoặc 
hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa thể vượt qua. Trong học tập, vấn đề có 
thể là tri thức mới, kĩ năng mới mà chủ thể cần nhận thức, cần phát hiện và cần 
chiếm lĩnh.
- Gợi nhu cầu nhận thức: Tình huống gợi vấn đề được HS nhận thức, cần thiết 
có nhu cầu nhận thức, thấy có nhu cầu cần giải quyết vấn đề đó.
 2 câu hỏi của GV, câu trả lời của HS. (Thường được GV áp dụng trong các tiết 
học)
- GV thuyết trình phát hiện và GQVĐ: Mức độ độc lập của HS trong hình thức 
này thấp hơn các hình thức trên. GV là người tạo ra tình huống, phát hiện và tự 
mình giải quyết vấn đề, HS tiếp nhận kết quả.
1.4. Thực hiện dạy học phát hiện và GQVĐ
 Quá trình dạy học phát hiện và GQVĐ được thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Phát hiện vấn đề
- Tạo tình huống gợi vấn đề.
- Giải thích và chính xác hóa vấn đề để hiểu đúng tình huống.
- Phát biểu vấn đề và đặt ra mục đích giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Giải quyết vấn đề
- Phân tích vấn đề, làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm.
- Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết.
- Trình bày cách giải quyết.
Bước 3: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
- Kiểm tra sự đúng đắn và phù hợp thực tế của lời giải.
- Kiểm tra tính hợp lí tối ưu cảu lời giải.
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng của kết quả.
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tính tương tự, khái quát hóa, 
lật ngược vấn đề,  và giải quyết nếu có thể.
1.5. Cách tạo ra tình huống có vấn đề
 Để tạo ra tình huống có vấn đề, GV có thể sử dụng một trong các cách 
sau:
- Giải bài tập vào lúc mở đầu.
- Áp dụng phép suy luận tương tự.
- Áp dụng mẫu mô hình quen thuộc. 
- Lật ngược vấn đề.
- Khái quát hóa, triều tượng hóa.
- Dùng quy nạp, thực nghiệm.
 Ngoài các biện pháp trên trong dạy học toán học còn có thể sử dụng các 
phương pháp: Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm , tìm sai lầm 
trong lời giải,Mỗi phương pháp tùy theo nội dung dạy học, năng lực HS mà 
GV vận dụng để từ đó đem lại hiệu quả cao trong quá trình dạy học.
II. Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và GQVĐ hướng dẫn học 
sinh bước đầu tiếp cận công thức lượng giác
 Trong chương: “ Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác”, Đại số 
10(cơ bản) không phải bài nào cũng chứa tình huống có vấn đề, ngay cả trong 
bài toán có chứa tình huống có vấn đề không phải nội dung nào cũng có thể dạy 
bằng PPDH phát hiện và GQVĐ. Vì vậy GV phải xác định vấn đề nhận thức nào 
 4 Lượng giác thuộc công thức nào hay chưa?
 Mận hỏi thì Đào xin thưa
 Tớ đã thuộc hết lúc vừa bình minh
 Sin bình cộng với cos bình
 Nhất định bằng 1 chúng mình cùng vui
 sin 2 cos2 1
 Tang bình thêm 1 bạn ơi
 Bằng 1 chia nhé cos thời bình phương
 1
 1 tan 2 
 cos2 
 Cotang cũng dễ như thường
 Bình phương cộng 1 bằng thương chứ gì
 Tử là số 1 còn chi
 Mẫu bình phương của sin thì chẳng sai
 1
 1 cot 2 
 sin 2 
 Tang với côtang sánh vai
 Tích chúng bằng 1 nhớ hoài chẳng quên.
 tan cot 1
c) Vận dụng công thức
 Vận dụng công thức vào VD cụ thể: Tùy vào khả năng tiếp thu của HS mà 
GV lựa chọn VD phù hợp. Dưới đây là một số VD có liên quan đến công thức 
lượng giác cơ bản.
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc biết: 
 5 3 
a. cos và 2 b. sin 0,8 và 
 13 2 2
 15 3 
c. tan và 
 8 2
 Để làm được dạng toán này học sinh cần phải nhớ được các công thức 
lượng giác cơ bản. Vận dụng một cách linh hoạt các công thức tùy vào giả thiết 
của bài toán
 VD: Đối với câu a) GV có thể định hướng để học sinh phát huy khả năng 
tư duy của các em. GV gợi ý như sau:
 H1: GV yêu cầu HS nhắc lại công thức lượng giác cơ bản; cách xác định 
dấu của các giá trị lượng giác?
 H2: Biết cos em sẽ tính được giá trị lượng giác nào trước? Công thức em 
sử dụng là gì? (GV luôn nhắc học sinh hãy quan sát vào công thức nếu các em 
chưa thuộc công thức).
 HS: Tìm sin trước dựa vào công thức (1).
 H3: Tiếp theo em tính giá trị nào? Em sử dụng công thức nào để tính?
 HS: Thông thường các em sẽ vận dụng công thức (2) để tính tan . GV để 
HS tính theo hướng này. Sau đó chỉ ra điều mà các em dễ mắc phải sai lầm, đó 
là khi xét dấu để chọn giá trị tan cho phù hợp.
 6 sin 
 tan sin tan .cos 
 cos 
 15 8 15
 sin . 
 8 17 17
 8
 cot 
 15
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau
 a) sin 4 sin 2 cos2 
 1 cos 1
 b) (giả sử sin 0)
 sin 2 1 cos 
 1 sin 2 cos2 
 c) cos2 (giả sử cos 0 )
 cos2 
GV hướng dẫn:Việc chứng minh các đẳng thức lượng giác, hay rút gọn biểu 
thức lượng giác cần sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác và các hằng đẳng 
thức đại số. Khi biến đổi cố gắng làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để 
giản ước hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu nhau để khử nhauđi tới các 
biểu thức đơn giản.
Giải:
- Câu a) đặt sin 2 làm nhân tử chung, khi đó xuất hiện hằng đẳng thức lượng 
giác (1).
- Câu b) thực hiện quy đồng trước khi thu gọn.
- Câu c) tương tự câu b).
Bài giải cụ thể:
 a) sin 4 sin 2 cos2 sin 2 (sin 2 cos2 ) sin 2 sin vì 
 sin 2 cos2 1
 1 cos 1 1 cos 1 cos sin 2 1 cos2 sin 2 
 b) 
 sin 2 1 cos sin 2 1 cos sin 2 1 cos 
 2 2
 1 cos sin 2 2
 = 0 vì sin cos 1.
 sin 2 (1 cos )
 1 sin 2 cos2 1 sin 2 cos2 cos4 1 cos2 (sin 2 cos2 )
 c) cos2 
 cos2 cos2 cos2 
 sin 2 
 tan 2 vì sin 2 cos2 1.
 cos2 
2. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt.
a)Tình huống: (Cung đối nhau)
 Cho hai điểm M, N thuộc đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc 
 và . Tìm công thức lượng giác thể hiện mối quan hệ của hai cung đối nhau 
 và ?
b) Giải quyết vấn đề
 Định hướng tìm giải pháp
- Gợi ý 1: Tìm mối quan hệ giữa hoành độ và tung độ của hai điểm M và N? 
 8 c. Vận dụng công thức
Vận dụng với mục đích giúp HS ghi nhớ khắc sâu công thức. Vì vậy bài tập cần 
phải dễ nhớ, dễ vận dụng công thức vừa xây dựng. Sau đây là một số VD mà 
chúng ta có thể linh hoạt vận dụng vào quá trình giảng dạy của mình.
Ví dụ 1: Đơn giản các biểu thức sau
 a)cos( ) sin( )
 2
 b)cos sin 
 2 
 c)cos sin( ) cos sin 
 2 2 2 2 
 3 3 7 7 
 d)cos sin( ) cos( ) sin( )
 2 2 2 2
Giải:
Đối với loại toán này HS cần phải nắm vững công thức và các loại cung đặc 
biệt, để từ đó các em biết nhóm, tách đưa các góc đã cho về các trường hợp đặc 
biệt:
 a)cos( ) sin( ) cos sin  cos sin 
 2 2 2 
 sin sin 0.
 b)cos sin cos sin cos sin 
 2 2 2 
 cos cos 0
Thông qua VD này có thể xây dựng thêm công thức: Cung hơn kém 
 2
 sin( ) cos 
 2
 cos( ) sin 
 2
 tan( ) cot 
 2
 cot( ) tan 
 2
Vận dụng công thức vừa xây dựng để làm câu c):
 c)cos sin( ) cos sin sin cos sin cos 2sin 
 2 2 2 2 
 sin( ) sin sin cos 
 2 2 2 
Trong câu d) tách đưa các góc về góc đặc biệt để sử dụng công thức biến đổi:
 10 Từ đó ghép đúng: cos60 cos30 sin 60 sin30 cos90 (1)
 cos45 cos30 sin 45 sin30 cos75 (2)
c)Xây dựng công thức: Trong (1) nếu xem 60 a; 30 b ; 
 Trong (2) nếu xem 45 a; 30 b Đưa ra nhận xét ?
HS có thể đưa ra nhận xét ngay, GV củng cố để đưa ra công thức.
Nhận xét: cosacosb sin asinb cos(a b) (*)
d) Củng cố: Để củng cố nội dung trên GV cho VD: Dùng máy tính kiểm tra 
đẳng thức: cos19 cos53 sin19 sin53 cos72 
 Xây dựng công thức còn lại của công thức cộng
H1: Công thức (*) thay đổi ra sao nếu thay a bởi .
 2
Kết quả: sinacosb – cosasinb = sin(a - b) (**)
H2: Công thức (*) và (**) thay đổi ra sao nếu thay b bởi –b.
Kết quả: sinacosb + cosacosb = sin(a + b)
H3: Từ các kết quả trên hãy tính tan(a + b) và tan(a – b) theo tana và tanb.
 tan a tanb
 tan(a b) 
 1 tan a tanb
 tan a tanb
 tan(a b) 
 1 tan a tanb
 Sau khi xây dựng xong công thức GV có thể đưa ra cách nhớ công thức 
đề các em vân dụng ghi nhớ công thức.
Công thức cộng Công thức cộng cũng thật phiền
 cos(a b) cos a cos sb sin a sin b (1) Không chịu khó học thuộc liền được 
 cos(a b) cos a cos sb sin a sin b (2) ư?
 sin(a b) sin a cos b cos a sin b (3) Cos của tổng thật là hư
 sin(a b) sin a cos sb cos a sin b (4) Bằng tích các cos lại trừ tích sin
 tan a tan b Sin của tổng nhớ như in
 tan(a b) (5) Bằng sin nhân cos cộng liền cos sin
 1 tan a tan b
 tan a tan b Tang của tổng bằng tổng tang
 tan(a b) (6) Chia 1 trừ tích các tang oai hùng
 1 tan a tan b
3.2. Xây dựng công thức nhân đôi. Công thức hạ bậc
 Tình huống
H?: GV từ công thức cộng nếu thay a = b thì công thức thay đổi ra sao?
HS trả lời: Thay a = b ta được các công thức sau: 
 sin 2a 2sin acosa
 cos2a cos2 a sin 2 a
 2cos2 a 1 (3)
 1 2sin 2 a (4)
 2tan a
 tan 2a 
 1 tan 2 a
 12