Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số trong chương trình Đại số 10

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU 
KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT 
 SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG 
TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG 
 CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 
 MỞ ĐẦU 
1. Lý do chọn đề tài 
 Đất nước ta đang trên đà phát triển và hội nhập. Để đáp ứng nhu cầu công 
nghiệp hoá-hiện đại hoá đất nước, cùng với sự phát triển của khoa học-công nghệ, 
giáo dục-đào tạo được xem là quốc sách hàng đầu, nhằm nâng cao dân trí, đào tạo 
nhân lực và bồi dưỡng nhân tài. 
 Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán chiếm vị trí đặc biệt 
quan trọng trong các môn học, nó là cơ sở của nhiều môn học khác. Môn toán có 
khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện 
cho học sinh tư duy biện chứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic 
 Phương trình đặc biệt là phương trình chứa tham số chiếm một khối lượng 
không nhỏ trong chương trình toán phổ thông nhất là đối với chương trình đại số 
10. Vì vậy, việc đưa ra những phương pháp cụ thể để giải các dạng toán ở nội dung 
này là hết sức cần thiết. Có khá nhiều tài liệu nghiên cứu về nội dung này song chỉ 
trình bày tổng hợp nhiều phương pháp nên mức độ của mỗi phương pháp thực sự 
chưa được làm sâu. 
 Phương pháp điều kiện cần và đủ có lẽ đã quen thuộc đối với giáo viên, sinh 
viên ngành toán song đối với nhiều học sinh cấp III đây còn là một vấn đề khá mới 
mẻ. Tuy nhiên, phương pháp điều kiện cần và đủ lại tỏ ra khá hiệu quả đối với việc 
giải các bài toán về phương trình chứa tham số. Bằng phương pháp này, học sinh 
có thể vận dụng vào giải các bài toán về phương trình chứa tham số một cách đơn 
giản và dễ hiểu, nhất là đối với một số phương trình đặc biệt sẽ được đề cập đến 
trong phần sau. Xuất phát từ vị trí và tính hiệu quả của phương pháp điều kiện cần 
và đủ đối với kỹ năng giải toán của học sinh, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “ Vận 
dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương 
trình chứa tham số trong chương trình đại số 10” với mong muốn cung cấp cho 
học sinh thêm một phương pháp hữu hiệu trong học toán và giải toán, đồng thời 
góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân. 
Hy vọng đề tài này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo 
trong việc ôn luyện thi vào các trường Đại học, Cao đẳng cũng như bồi dưỡng học 
sinh giỏi. 
 Chương 1 
 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 
1.1 . Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 
Theo sách giáo khoa đại số 10 thì các nội dung về phương trình được đề cập đến 
bao gồm: 
 -Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn. 
 -Phương trình quy về được phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. 
 -Phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Trong các nội dung đó, có một số nội dung có lẽ không gây khó khăn đối với học 
sinh lớp 10. Để đáp ứng được phạm vi nghiên cứu và yêu cầu của đề tài những nội 
dung này sẽ không được đề cập đến. Vì vậy, trong đề tài này tôi xin được trình bày 
các bài toán về phương trình chứa tham số của các nội dung sau: 
 -Phương trình bậc hai một ẩn. 
 -Phương trình qui về được phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. 
Ngoài ra, trong đề tài này tôi cũng xin trình bày một số bài toán về phương trình 
chứa tham số nhưng không nằm trong nội dung sách giáo khoa nhằm phục vụ cho 
việc bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh khối lớp 10. 
1.2. Đặc điểm của các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 
 Trong một phương trình ngoài ẩn số ra còn có chữ khác mà chữ này được xem 
như là hằng số thì phương trình đó được gọi là phương trình chứa tham số, chữ cái 
khác ở trên được gọi là tham số. 
 Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 chủ yếu được phân 
theo 2 dạng: 
 Dạng 1: Giải và biện luận phương trình theo giá trị của tham số. 
 Dạng 2: Xác định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước. 
 Chương 2 
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ 
 DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 
2.1. Một số kiến thức liên quan 
2.1.1. Bất đẳng thức tam giác 
Với mọi , ta luôn có: + + 
Dấu “=” >xảyú ra∈ ℝkhi 0. |> ú| ≤ |>| |ú|
2.1.2. Bất đẳng thức>ú Bunhiacopski≥ cho 2 bộ số , và , 
Với 2 bộ số , và , ta có: > > ú ú
 >  > + ú ú + + 
     
        
Dấu “=” xảy ra> khiú >=ú . ≤ > > ú ú 
  
  
2.2. Hệ thống bài tập giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ 
2.2.1. Tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán đối với việc xác 
định điều kiện cần 
 Trong phần này tôi xin trình bày các bài toán có chung một yêu cầu đó là tìm 
tham số để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Các phương trình đưa ra đều 
có một đặc điểm chung đó là nếu là một nghiệm của phương trình thì cũng 
là nghiệm của phương trình đó. Lợi dụng đặc điểm đó mà ta có phương pháp 
chung để giải các bài toán này như2 sau: − 2
 Giả sử phương trình có nghiệm lúc đó nó còn có một nghiệm khác là 
 , do tính duy nhất nghiệm nên 2 nghiệm này phải bằng nhau, từ đây ta tính được 
 2 −
 . Thế vào phương trình đầu để tìm tham số. Sau đó thế ngược những tham số 
2
tìm được vào phương trình đầu để giải. Nếu ứng với tham số nào mà phương trình 
  
không2 th2ỏa mãn tính duy nhất nghiệm thì ta sẽ loại giá trị tham số đó. Những giá 
trị tham số còn lại chính là kết quả cần tìm của bài toán. 
 Do đó phương trình có nghiệm duy nhất = . 
 
Tóm lại, = 3 2 là điều kiện cần và đủ2 để (1−) có nghiệm duy nhất. 
Nhận xét: √
Trong lời giải này, điểm khó nhất có lẽ là việc nhận ra = 1 cũng là 
nghiệm của phương trình đã cho, thực sự công việc này cũng không hề đơn giản, 
 
cái cơ bản là phải tiếp xúc với nhiều bài tập dạng này mới hình2 thành− −đư2ợc kỹ năng 
đó. 
Bài toán 2: Tìm , , sao cho phương trình sau đây có nghiệm duy nhất 
 > ú  + = (2) 
 Giải: |2 − >| |2 − ú| 
1. Điều kiện cần: 
Giả sử phương trình (2) có nghiệm duy nhất = . 
Vì là nghiệm của (2) nên ta có 2 2
 2 + = + + + = 
Do|2 đó− >=| |+2− ú| cũng là| nghi> ệmú −của2 (2−). >| |> ú − 2− ú| 
 
Do tính2 duy> nhấtú nghiệm− 2 ta suy ra = + = . 
 
 2 > ú − 2 2 
Thay = = vào (2) ta được = . 
 
 
Vậy 2 2 = chính là điều kiện cần|> −đểú ph| ương trình (2) có nghiệm duy nhất. 
2. Đi|ều> −kiệnú| đủ: 
Giả sử = , khi đó (2) trở thành 
 |> −+ú|  = + = 
 |2 − >| |2 − ú| |> − ú| |2 − > | |2 − ú| |2 − ú− 2 − >|
 Thay = = vào (3) ta được = . 
  √1
 2 2   
Vậy = là điều kiện cần để phương trình (3) có nghiệm duy nhất. 
 √1
2. Điều kiện đủ: 
Giả sử = , lúc đó (3) trở thành 
 √1
  
 3 + + 6 3 + 6 = (3.1) 
 √1
 2 − 2 −  2 − 2 
Đặt = 3 +√ + 6 √ 0 thì = 9 + 2 3 + 6 
 
 3 + 6 = . Khi đó (3) có thể viết lại: 
  √ 2 √ − 2 ≥    2 − 2
 1
 2 − 2 
 = 2 + 6 2 18 = 0 = 3 2 hoặc = 2 3 2 
 
 1 √1
(nghiệm = 2 3 2 < 0 nên bị loại) 
 −   −  √ −  √  − √
Với = 32, ta− có:√ 3 + + 6 = 3 2 9 + 2 3 + 6 = 18 
  √ √3 + 2 6 √ − =2 √ 3 + 6 = 2  − 2
 1 
  2 − 2   2 − 2 
 3 + = 0 = 
  1 
 2 − 2  2 ∈ 
Suy ra = là nghiệm duy nhất của phương trình (3.1). 
 
 2 
Tóm lại, = là điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy 
  1
nhất. √
  
Nhận xét: 
Với bài toán này, nếu sử dụng bằng phương pháp tam thức bậc hai để giải thì có 
thể không giải được, hoặc nếu được thì công việc đó không hề đơn giản đặc biệt là 
đối với học sinh lớp 10. Song với phương pháp điều kiện cần và đủ như trình bày ở 
 1. Điều kiện cần: 
Giả sử (5) có nghiệm duy nhất = . 
Nhận thấy rằng là nghiệm của2 ph2ương trình (5) thì cũng là nghiệm của nó. 
Do tính duy nhất nghiệm ta suy ra = = 0. 
 2 − 2
Thay = = 0 vào (5) ta được 2= 1−. 2 2
Do đó2 =21 là điều kiện cần để (5)có nghiệm duy nhất. 
2. Điều kiện đủ: 
Với = 1, phương trình (5) trở thành 
  + 1 = + 1 + 1 = + 1 + 1 = + 2 + 1 
     
 √ 2 | 2 | 2 = 0 |2 | = 0 2 2 |2|
Suy ra = 0 là nghiệm duy nh|2|ất của phương2 trình (5). 
Vậy 2= 1 là điều kiện cần và đủ để phương trình (5) có nghiệm duy nhất. 
Nhận xét:. 
 Các phương trình chứa tham số được đưa ra trong phần này đều có một đặc 
điểm chung đó là nếu là nghiệm của phương trình đã cho thì cũng là 
nghiệm của nó. Chính vì lợi dụng điểm này cùng với yêu cầu duy nhất nghiệm của 
  
bài toán ta mới tìm được2 giá trị của tham số. − 2
 Khi dạy học phần này cho học sinh lớp 10, giáo viên có thể thực hiện theo trình 
tự sau: 
 -Giới thiệu phương pháp cho học sinh. 
 -Trình bày đặc điểm chung của dạng toán sắp giới thiệu. 
 -Đưa ra ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo phương pháp đã 
nêu, cụ thể: 
 Sau đây là một số bài toán được giải bằng phương pháp vừa nêu trên: 
Bài toán 6: Tìm sao cho phương trình sau có tập nghiệm là 1; + 
 > + 1 = 2 (6) − ∞
 Giải: |2 − >| − |2 |
1. Điều kiện cần: 
Giả sử phương trình đã cho có tập nghiệm là 1; + . 
Do 1; + là tập nghiệm của (6) nên rõ ràng− = ∞1 là nghiệm của nó. 
Thay− = ∞1 vào (6) ta được + 1 = 2 =2 1 − = 3. 
Vậy điều2 kiện− cần để phương |tr>ình đ|ã cho có >tập nghiệm∨ > − 1; + là = 1 hoặc 
 = 3. 
 − ∞ >
>2. Đi−ều kiện đủ: 
* Với = 1, phương trình đã cho trở thành 
 > 1 + 1 = 2 (6.1) 
Nhận thấy rằng = 0 không|2 −thỏa| −mãn|2 (6.1|) nên không là nghiệm của (6.1), do đó 
tập nghiệm của (6.1) không phải là 1; + . Suy ra = 1 không thỏa mãn điều 
 2
kiện bài toán. 
 − ∞ >
* Với = 3, phương trình đã cho trở thành 
 > − + 3 + 1 = 2 (6.2) 
Nếu < 3 thì (6.2) |2 3 | − |2 |1 = 2 2 = 2 (không thỏa mãn) 
Nếu 2 3 − < 1 thì⇔ (6.2−)2 − +−3− 2 − 1 = 2 − = 1 (không thỏa) 
Nếu − ≤ 21 thì− (6.2) + 32 −+1− 2=− 2  2 = 2 2 (thỏa− 1) 
Vậy tập2 ≥ nghiệm− của (6.2) là2 1;−+ 2 .  ∀2 ≥ −
 − ∞