Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng hệ thống bài tập “Đường tròn” theo định hướng phát triển năng lực học sinh lớp 10 THPT

 MỤC LỤC
 Trang
1. MỞ ĐẦU 1
1.1. Lí do chọn đề tài 1
1.2. Mục đích nghiên cứu 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu 1
1.5. Điểm mới của sáng kiến 1
2. NỘI DUNG 2
2.1. Cơ sở lý luận 2
2.2. Thực trạng vấn đề 2
2.3. Giải quyết vấn đề 3
2.3.1. Câu hỏi và mức độ nhận biết 3
2.3.2. Câu hỏi ở mức độ thông hiểu 6
2.3.3. Câu hỏi ở mức độ vận dụng 10
2.3.4. Câu hỏi ở mức độ vận dụng cao 12
2.4. Hiệu quả của sáng kiến 17
2.4.1. Kết quả thực nghiệm 17
2.4.2. Kết quả chung 17
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18
3.1. Kết luận 18
3.2. Kiến nghị 18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC
 0 2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài
2.1.1. Khái niệm về năng lực
 Theo nhà tâm lí học người Nga thì: “Năng lực được hiểu như là: một phức 
hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một 
hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó”.
 Như vậy nói đến năng lực là nói đến cái gì đó tiềm ẩn bên trong một cá 
nhân, một thứ phi vật chất. Song nó được thể hiện qua hành động và đánh giá 
được nó thông qua kết quả của hoạt động.
 Thông thường một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững 
tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt kết quả cao hơn, 
tốt hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt 
động đó trong những điều kiện tương đương.
2.1.2. Năng lực Toán học
 Năng lực Toán học được đánh giá trên hai phương diện: Năng lực nghiên 
cứu toán học và năng lực học tập toán học.
 Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng được 
các yêu của của hoạt động toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, 
kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc trong những 
điều kiện ngang nhau.
 Cấu trúc của năng lực toán học:
 - Về mặt thu nhập thông tin.
 - Chế biến các thông tin đó.
 - Lưu trữ thông tin.
 - Thành phần tổng hợp chung.
 Các mức độ năng lực: Nhận biết - Thông hiểu - Vận dụng - Vận dụng cao.
2.2. Thực trạng của đề tài.
2.2.1. Thuận lợi
 - Bản thân tôi luôn cố gắng tìm tòi, sáng tạo, tự học và tự nghiên cứu.
 - Có một số học sinh chăm ngoan chăm học có tố chất, tư duy, nhiệt tình 
mong muốn tìm hiểu khám phá những vấn đề mới của toán học.
2.2.2. Khó khăn
 Đặc thù môn Toán là rất trừu tượng nên học sinh có phần e ngại khi học 
môn Toán, đặc biệt là môn hình chứ chưa nói gì đến việc tìm tòi sáng tạo, tự 
nghiên cứu về toán.
2.2.3. Thực trạng của đề tài.
 - Trong giảng dạy nếu đơn thuần chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản mà quên 
đi hoạt động tìm tòi, sáng tạo, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên sẽ bị mai 
một kiến thức và học sinh cũng bị hạn chế khả năng suy luận, tư duy sáng tạo.
 - Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó để thi nên không hiểu 
sâu, hiểu rộng vấn đề nào đó của toán học.
 2 Bài 3. Tìm điều kiện để phương trình sau đây là phương trình của đường tròn: 
x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0
 m 1 m 1
A. 1 < m <2 B. –1 < m < 1 C. D. 
 m 2 m 1
Hướng dẫn
 2 2 2 2 2 m 1
a + b - c > 0 m + 4(m - 2) - 6 + m > 0 m - 3m + 2 > 0 (Chọn C) 
 m 2
2.3.1.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài 1. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn: x2 + y2 + 4x+4y – 17 = 0 tại điểm
M(2; 1) là:
A. 4x + 3y - 11 = 0 B. 3x + 4y + 11 = 0 C. 5x - 2y + 3 = 0 D. 8x + 6y - 11 = 0
Hướng dẫn
x2 + y2 + 4x – 17 = 0 (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 (C)
  
Tâm I (-2; -2), IM (4; 3). 
  
Tiếp tuyến với (C) tại M nhận IM làm véc tơ pháp tuyến 
 phương trình là: 4(x - 2) + 3(y - 1) = 0 4x + 3y - 11 = 0 (Chọn A).
Nhận xét: Ta có thể viết theo cách phân đôi tọa độ như sau
Ta viết phương trình thành: x.x 0 + y.y 0 + 2( x+x 0 ) + 2( y+y 0 ) - 17 = 0
Sau đó thay x 0 = 2, y 0 = 1 được: 2x + y + 2(x+2) + 2(y+1) - 17 = 0
 4x + 3y - 11 = 0
Chú ý: Luôn sử dụng tính chất bán kính tại tiếp điểm vuông góc với đường tiếp 
tuyến để lấy véc tơ pháp tuyến là IM 
2.3.1.3. Các bài toán về vị trí tương đối, tương giao
Bài 1. Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 4x - 4y + 7 = 0.
Tìm mệnh đề sai:
A. (C) có tâm (2; 2) bán kính R = 1
B. (C) nằm trong góc phần tư thứ nhất
C. (C) không tiếp xúc với các trục toạ độ
D. (C) cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại 2 điểm.
Hướng dẫn
(C) (x - 2)2 + (y - 2)2 = 1 nên tâm I(2; 2), R = 1 (C) nằm trong góc phần 
tư thứ nhất và (C) không tiếp xúc với các trục toạ độ
 2 2 4
 Δ : y x 0 d I ,Δ 2 2 1 do đó (Chọn D).
 2 2
Bài 2. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào biểu diễn đường tròn đi 
qua M (4; 2) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ:
A. x2 + y2 - 2x - 2y + 8 = 0 B. x2 + y2 - 4x - 4y + 8 = 0
C. x2 + y2 - 8x - 8y + 2 = 0 D. x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0
 4 2 2 9
Do đó đường tròn cần tìm có phương trình: x 1 y 2 .
 2
Nhận xét: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc đường tròn là khoảng 
cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính.
2.3.2. Câu hỏi mức độ thông hiểu
2.3.2.1. Phương trình đường tròn
Bài 1. Xác định tâm và bán kính đường tròn 3x2 + 3y2 + 4x + 1 = 0
 2 2 4 1 2 1
Viết lại PT đường tròn x y x 0 I ;0 ,bán kính R = 
 3 3 3 3
Bài 2. Phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 1), B(7; 5) là
A. x2 + y2 - 6x - 8y + 12 = 0 B. x2 + y2 - 4x - 6y + 10 = 0
C. x2 + y2 - 8x - 6y + 12 = 0 D. x2 + y2 - 2x - 4y + 7 = 0
Hướng dẫn
 xA xB yA yB 2 2
Tâm I , = (4; 3), R = IA = ( 4 1) ( 3 1) 13
 2 2 
Phương trình đường tròn: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 13 x2 + y2 - 8x - 6y + 12 = 0 
 (Chọn C).
Bài 3. Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A(3; 1) và B(2; -2). 
 2 2
 5 1 5
ĐS: x y 
 2 2 2
Bài 4. Phương trình đường tròn qua ba điểm M(6; –2), N(–2; 4) ,P(5; 5) là
A. x2 + y2 - 6x - 8y + 20 = 0 B. x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
C. x2 + y2 - 2x + 6y - 10 = 0 D. x2 + y2 - 8x - 4y + 7 = 0
Hướng dẫn
Phương trình (C) có dạng: x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 đk A2 B2 C
Cho (C) qua 3 điểm M, N, P
Giải hệ phương trình ta được (C) : x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0. (Chọn B)
Chú ý: Lựa chọn phương trình đường tròn ở dạng 2.
 x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0
Bài 5. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M(1; 2), N(5; 2) , P(1; -3)
Cách 1: Sử dụng kiến thức ở bài cũ
Gọi I( x; y ) và R là tâm và bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P
Từ điều kiện IM = IN = IP ta có hệ:
 2 2 2 2
 x 1 y 2 x 5 y 2 
 2 2 2 2
 x 1 y 2 x 1 y 3 
 1
Nghiệm của hệ x 3,y 
 2
 2
 2 1 41
Vậy PT là x 3 y .
 2 4
 6  
 Tiếp tuyến tại T(1 ; 0) vuông góc với IT 3; 1 có PT: 3x – y – 3 = 0
  
 Tiếp tuyến tại T(-5 ; 0) vuông góc với IT 3; 1 có PT: 3x + y +15 = 0.
 2 2
Bài 3. Viết PTTT với đường tròn x + y = 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc là 1.
Hướng dẫn
 Đường tròn đã cho có tâm O(0 ; 0), bán kính 2 . 
 Đường thẳng d có hệ số góc 1 nên có PT: x – y + m = 0
 m
 d tiếp xúc (C) d( O;d ) R 2 m 2
 2
 Vậy phương trình d là x - y + 2 = 0, x – y – 2 = 0
Bài 4 . Viết PTTT với đường tròn (C) : x 2 + (y – 1)2 = 25 biết tiếp tuyến vuông 
góc với đường thẳng 3x – 4y = 0.
Hướng dẫn
 Đường tròn có tâm I(0 ; 1), R = 5.
 d vuông góc 3x – 4y = 0 nên có pt 4x + 3y + m = 0.
 d tiếp xúc (C) 
 4.0 3.1 m
 d( I;d ) R 5 3 m 25 m 22, m 28.
 42 32
Vậy có hai PTTT là 4x + 3y + 22 = 0, 4x + 3y – 28 = 0.
Bài 5. Viết PTTT với đường tròn (C) : x 2 + (y – 1)2 = 25 biết tiếp tuyến vuông 
góc với đường thẳng y = 2.
ĐS: x 5 0, x 5 0.
Chú ý: HS hay dùng điều kiện song song, vuông góc theo hệ số góc k, nhưng 
cách giải đó không tổng quát vì HS sẽ gặp khó khăn khi làm bài 6. GV nên 
hướng dẫn HS viết phương trình theo véc tơ pháp tuyến (VTPT) hoặc véc tơ chỉ 
phương (VTCP).
Bài 6. Viết PTTT với đường tròn (C): x2 + (y – 1)2 = 25 biết tiếp tuyến vuông 
góc với đường thẳng y = 2.
 ĐS: x 5 0, x 5 0
Bài 7. Cho đường tròn đường tròn x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0, điểm A(-1 ; 2).
a. Chứng minh rằng điểm A nằm ngoài đường tròn.
b. Kẻ tiếp tuyến AT với đường tròn, T là tiếp điểm. Tính độ dài AT. 
c. Viết PTTT AT kẻ từ A với đường tròn. 
d. Gọi T 1 ,T 2 là các tiếp điểm của tiếp tuyến qua A, tính đoạn T 1 T 2 . 
Hướng dẫn
  
a. I 2;1 ,R 4 1 4 3,A 1;2 AI 3; 1 AI 10 R 3 do đó A nằm 
ngoài đường tròn.
b. AT 2 AI 2 IT 2 10 9 1 AT 1.
c. Phương trình d qua A(-1 ; 2) có dạng a(x+1) + b(y – 2) = 0 
 8 Gọi I(h ; k) là tâm và R là bán kính đường tròn. 
 Ta có (I) tiếp xúc với Ox, Oy nên: 
 h k
 d I ,Ox d I ,Oy h k 
 h k
 Mặt khác I Δ 2h k 3 0. Do đó: 
 h k 3 R 3
 h 1,k 1 R 1
 PT đường tròn cần tìm là: 
 x 3 2 y 3 2 9, x 1 2 y 1 2 1.
2.3.3. Câu hỏi mức độ vận dụng.
2.3.3.1. Phương trình đường tròn
Bài 1. Viết phương trình đường tròn qua A(5; 3) và tiếp xúc đường thẳng 
d : x + 3y + 2 = 0 tại điểm T(1; -1)
Hướng dẫn
Phương trình đường tròn: x2 y2 2ax 2by c 0
(C ) qua A(5; 3): 10a + 6b + c = - 34
(C ) qua T(1; -1): 2a – 2b + c = - 2
Tâm I (- a; - b) thuộc đường thẳng vuông góc với d: x + 3y + 2 =0 tại T (1; -1) 
có PT 3 x 1 y 1 0 3x y 4 0 3a b 4
Giải hệ ta được: a = b = - 2, c = - 2.
Vậy phương trình đường tròn x2 y2 4x 4y 2 0
Nhận xét: Một lần nữa ta thấy hiệu quả của tính chất bán kính tại tiếp điểm 
vuông góc với tiếp tuyến.
Bài 2. Cho d: x – 7y + 10 = 0, (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 và A(1 ; -2). 
Lập phương trình (C1) đi qua giao điểm của d và (C) và A.
Hướng dẫn
Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ 
 x 7y 10 0 x 7y 10 y 1,x 3
 2 2 2 
 x y 2x 4y 20 0 50y 150y 100 0 y 2,x 4
Vậy có 2 giao điểm B 3;1 ,C 4;2 .
Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B,C là:
 2 2
 1 3 25 2 2
 x y hay x y x 3y 10 0 .
 2 2 2
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn 
 C : x 1 2 y 2 2 9 . CMR điểm M 2;1 nằm trong (C). Viết phương trình 
đường thẳng qua M cắt (C) tại A, B sao cho M là trung điểm của AB.
Hướng dẫn
+ (C) có tâm I 1;2 ,R 3 .
 10