SKKN Định hướng tư duy và phân tích bài toán thông qua một số bài tập hình học tọa độ trong mặt phẳng, nhằm nâng cao hiệu quả học tập Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10

 MỤC LỤC
 Nội dung Trang
Phần I. Phần mở đầu 2
1. Lý do chọn đề tài 2
2. Mục đích nghiên cứu 3
3. Đối tượng nghiên cứu 3
4. Phương pháp nghiên cứu 3
Phần II. Nội dung của đề tài 4
1. Cơ sở lý luận 4
2. Thực trạng cửa vấn đề trước khi áp dụng SKKN 5
3. Các bài toán đặc trưng 5
Dạng 1. Các bài toán khai thác các tính chất liên quan tới các điểm 
 5
và các đường đặc biệt trong tam giác.
Dạng 2. Các bài toán khai thác các mối liên hệ giữa các yếu tố hình 
 13
học nhờ vào giả thiết của bài toán.
4. Hiệu quả áp dụng 20
Phần III: Kết luận và kiến nghị 21
Tài liệu tham khảo 23
 - 1 - bài toán. Trên cơ sở đó việc giải quyết các bài toán này trở nên tương đối nhẹ 
nhàng với đại bộ phận học sinh.
 Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT cũng như giảng dạy ở một số 
lớp ôn thi đại học, ôn thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận 
thấy nhiều học sinh chưa có phương pháp giải quyết lớp bài toán này, hoặc còn 
lúng túng nhầm lẫn trong quá trình làm bài. Học sinh không biết vận dụng kiến 
thức đã học để giải quyết vấn đề này vì những lý do sau: quên kiến thức đã học, 
chưa hiểu đúng yêu cầu của bài toán, ít rèn luyện nên dẫn đến khả năng phân 
tích, tổng hợp các dạng bài còn yếu, không nhận dạng được loại bài toán.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
 Với những lý do nêu trên tôi chọn đề tài: “Định hướng tư duy và phân 
tích bài toán thông qua một số bài tập hình học tọa độ trong mặt phẳng, nhằm 
nâng cao hiệu quả học tập chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
cho học sinh lớp 10 – Trường THPT Quảng Xương 4” với mong muốn dần 
hình thành cho học sinh những tư duy và thuật toán cơ bản trong quá trình tìm 
lời giải cho các bài toán về hình giải tích trong mặt phẳng, để học sinh tham 
khảo và vận dụng trong quá trình học tập. Bên cạnh đó thông qua những ví dụ 
và việc phân tích lời giải các bài tập nêu ra trong đề tài nhằm giúp học sinh hình 
thành những tư duy và thuật toán cơ bản trong quá trình tiếp cận với các bài toán 
về các dạng bài tập về hình giải tích trong mặt phẳng và các mối liên hệ giữa 
hình học và các yếu tố giải tích có liên quan.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: 
 Đề tài này chỉ tập trung nghiên cứu về các dạng bài tập liên quan đến 
phương trình đường thẳng và đường tròn trong hệ trục tọa độ Oxy. Các bài toán 
có sử dụng các kiến thức hình học ở bậc THCS của một số dạng hình có tính 
chất đặc biệt mà học sinh đã quen biết. 
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Trong quá trình nghiên cứu để hình 
thành đề tài, tôi chủ yếu sử dụng các phương pháp sau đây
 Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm trong giảng dạy.
 Thực hành thông qua các tiết dạy ôn thi đại học cũng như ôn tập học sinh 
giỏi môn Toán của nhà trường.
 - 3 - + Gán điểm theo dạng tọa độ đưa bài toán về dạng giải tích. 
2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN:
 Hiện nay rất nhiều học sinh còn lúng túng trong việc giải các bài toán về 
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, đặc biệt là các bài toán cần khai thác tính 
chất hình học và đòi hỏi sự tư duy linh hoạt. Thực trạng này có nhiều lý do 
nhưng có một mâu thuẫn xảy ra là phần kiến thức và bài tập về các dạng bài tập 
này hầu như không có trong sách giáo khoa nhưng thường xuyên xuất hiện trong 
các kỳ thi điển hình như đề thi đại học của tất cả các năm. Theo thống kê thì hơn 
70% học sinh của trường THPT Quảng Xương 4 khi tham gia kỳ thi THPT 
Quốc gia năm 2015 và các kỳ thi thử do các nhà trường tổ chức không giải quyết 
được dạng toán này. Bên cạnh đó với những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh 
phải tư duy, phân tích, nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, biết vận 
dụng nhiều kiến thức liên quan. Do vậy nếu học sinh nắm được các kiến thức 
được trình bày dưới đây hy vọng rằng học sinh sẽ giải quyết được các một lớp 
bài toán về nhỏ về các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng.
3. CÁC DẠNG TOÁN ĐẶC TRƯNG NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG 
ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHÂN TÍCH CHO HỌC SINH:
Dạng 1. Các bài toán khai thác các tính chất liên quan đến các điểm và các 
đường đặc biệt trong tam giác
 Trong nội dung phần này chúng ta cùng nhau đi phân tích và tìm đường 
hướng cho một lớp các bài toán thể hiện các mối quan hệ hình học giữa các yếu 
tố trong một tam giác. Đó là các mối quan hệ về điểm, cạnh, góc trong tam giác, 
của các điểm đặc biệt, các đường đặc biệt trong tam giác.
 Trên cơ sở giả thiết của bài toán, xác định được mối liên quan giữa các 
yếu tố từ đó vận dụng một cách thích hợp các tính chất hình học tìm ra yêu cầu 
của bài toán.
 Trước khi đi vào các dạng toán cụ thể chúng ta cùng nhau đi phân tích 
cách nhìn nhận vấn đề và cách thức tư duy qua hai bài toán cơ bản. Trên cơ sở 
phân tích cách nhìn nhận bài toán và con đường suy luận để đi đến lời giải thích 
hợp, nhằm giúp bạn đọc hình dung ra phương pháp chung để tiếp cận các dạng 
bài toán về hình học tọa độ trong mặt phẳng. Chúng ta cùng đi xét bài toán đơn 
giản sau:
Bài toán 1.1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Tìm tọa độ các đỉnh B, C của 
tam giác ABC , biết A(1; 3) và hai đường đường trung tuyến có phương trình là 
 d1 : x 2y 1 0; d2 : y 1 0.
Phân tích bài toán: 
 + Trên cơ sở của giả thiết ta có thể xác định được tọa độ trọng tâm của 
tam giác ABC.
 + Khi đó xảy ra các tình huống: 
 - Dùng công thức trọng tâm?
 - Xác định được tọa độ các điểm có liên quan.
 - 5 - x 2y 1 0
 Từ đó tìm được tọa độ J d1  2 : I( 1;0) 
 y 0
Do J là trung điểm BG nên có B( 3; 1) .
Bên cạnh cách dựng hình như trên ta còn một số cách làm như sau: 
Cách 2.1:
+ Tìm được tọa độ điểm G.
 A
 + Xác định được tọa độ điểm A’ đối xứng 
với A qua G.
 + Lập phương trình các đường thẳng G
 1; 2 cùng qua A’ và lần lượt song song với 
 d1;d2 .
 + Do tứ giác BGCA’ là hình bình hành 
 A'
nên tìm được B d1  2;C d2  1
Cách 2.2:
 + Tìm được tọa độ điểm G từ đó tính 
được tọa độ trung điểm K của AG. A
 + Lập phương trình các đường thẳng 
 P Q
 1; 2 cùng qua K và lần lượt song song với K
 d1;d2 . G
 B C
 + Dễ dàng chứng minh được 1; 2 đi 
qua trung điểm của các cạnh AB và AC.
 + Tìm được P d2  1;Q d1  2 
 + Dùng công thức trung điểm tìm được tọa độ các điểm B, C.
Nhận xét: 
 + Ba cách giải nhờ vào việc áp dụng ý nghĩa hình học nêu trên thực chất 
đều có bản chất giống nhau: 
 + Trên cơ sở việc xác định được tọa độ điểm G ta có thể tìm được tọa độ 
các điểm đặc biệt có liên quan: Điểm M là trung điểm BC, điểm A’ đối xứng với 
A qua G và điểm K là trung điểm AG. 
 + Sau khi xác định được tọa độ 1 trong 3 điểm nêu trên ta có thể lập được 
các đường thẳng liên quan qua điểm đó đồng thời song song hoặc vuông góc với 
các đường thẳng đã cho trong đề bài.
 + Kết hợp với việc vẽ hình chính xác ta có thể dễ dàng phán đoán và tìm 
ra được các tính chất có liên quan để sử dụng phép toán nào thích hợp.
Bài toán 1.2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3) . Các đường 
 3 
tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC có tâm lần lượt là I(3;2), K 2; . Viết 
 2 
phương trình đường thẳng BC.
Phân tích bài toán: 
 - 7 - Về bản chất cách làm này tương tự như cách làm trong ví dụ 1 nhưng trên 
cơ sở biết được tính chất hình học liên quan đến đường tròn nội tiếp và đường 
tròn ngoại tiếp ta có thể dễ dàng tìm ra hướng đi của bài toán.
 Với lời giải này cách trình bày sẽ cho ta kết quả tương tự cách 1.
Cách 3: ( Sử dụng các yếu tố phát hiện từ việc quan sát đặc điểm của giả thiết 
bài toán). Nhờ những phân tích trên ta nhận thấy bài toán liên quan đến những 
điểm đặc biệt đã nêu ở trên. Bên cạnh đó ta nhận thấy DB=DC=DI. Do đó B, C 
thuộc đường tròn tâm D và bán kính DI. Vậy đường thẳng BC là giao của đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đường tròn bán kính DI.
Do đó ta có lời giải: 
 Ta thấy từ giả thiết cho ta các mối liên hệ:
 3 25
 + Lập được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: (x 2)2 (y )2 
 2 4
 + Phương trình của AD là x y 1 0 
 + Tìm được điểm D là giao của phân giác trong góc A và đường tròn 
 x y 1 0 x 4 D(4;3) (loai)
ngoại tiếp: 3 25 1 1 1
 (x 2)2 (y )2 x D( ; )
 2 4 2 2 2
 1 1 25
 + Phương trình đường tròn tâm D bán kính DI : (x )2 (y )2 
 2 2 2
 + Phương trình đường thẳng qua BC : 
 3 25
 (x 2)2 (y )2 
 2 4
 3x 4y 12 0
 1 1 25
 (x )2 (y )2 
 2 2 2
Bài toán 1.3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có trực 
tâm H thuộc đường thẳng (d): 3x y 4 0. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác 
HBC có phương trình: x2 y2 x 5y 4 0 , trung điểm của BC là M(3;2). Tìm 
toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
Phân tích bài toán: 
 + Xác định được tọa độ trực tâm H. A
 + Trên cơ sở tính chất hình học liên quan đến 
 M
các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng N H
với các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC, O
HCA, HAB qua các cạnh BC, CA, AB ( Cùng bán B C
kính, tâm đối xứng nhau qua trung điểm BC). O'
 + Bài toán cho biết trung điểm M của AB do đó có thể liên quan đến 
đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB.
 + Vì H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC do đó điểm N đối 
xứng với H qua M sẽ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó ta 
 - 9 - 2x y 4 0 x a 4
 + Tọa độ C là nghiệm của hệ: =>
 x y a 0 y 2a 4
 C( a 4;2a 4 )
 1
 + Do đó S 12 AC.d(B,AC) 12
 ABC 2
 a2 a 2 4 a 2 (loai)
 9(a2 a 2)2 144 
 2 
 a a 2 4 a 3
 + Vậy A(3; 0), B(-5; -4), C(1; 2).
Bài toán 1.5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có 
 3 
đỉnh A 2;6 , chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm D 2; và tâm 
 2 
 1 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm I ;1 . Viết phương trình đường 
 2 
thẳng chứa cạnh BC.
Phân tích bài toán: 
 + Từ dữ kiện của bài toán ta có thể lập được A
 6
phương trình đường thẳng AD và đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ABC. 4
 + Trên cơ sở hình vẽ kết hợp với giả thiết bài 2
 I
toán ta thấy rằng có thể tìm thêm được giao điểm E C
của AD và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 5 5
 + Do đó cần phải tìm mối liên hệ giữa các 2 D
điểm I, A, E. Theo tính chất phân giác có E là trung 4
điểm cung BC nên IE  BC . Vậy bài toán được giải B E
quyết. 
Lời giải :
 + Gọi E là giao điểm thứ hai của AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC. Ta có phương trình đường thẳng AD: x 2 0 . 
 + Do E thuộc đường thẳng AD nên E(2;t) . Mặt khác do I là tâm đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên:
 2 2
 2 1 1 2 2 2
 IA IE t 1 2 2 5 t 1 5 t 6;t 4
 2 2 
Do đo ta được E 2; 4 
 + Do AD là phân giác nên E là điểm chính giữa cung BC suy ra IE vuông 
  5
góc với BC hay BC nhận EI 1; 2 là vectơ pháp tuyến. 
 2
 3 
 + Do đó pt của BC là: BC :1. x 2 2. y 0 x 2y 5 0 . 
 2 
 + Vậy BC :x 2y 5 0.
 - 11 -