SKKN Hướng dẫn học sinh sử dụng tọa độ trong hình học phẳng để chứng minh một số bất đẳng thức, giải một số phương trình và bất phương trình đại số nhằm nâng cao chất lượng đối với học sinh lớp 10 ở trường THPT

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TỌA ĐỘ 
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ĐỂ CHỨNG MINH MỘT 
 SỐ BẤT ĐẲNG THỨC, GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG 
 TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NHẰM 
 NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐỐI VỚI HỌC SINH 
 LỚP 10 Ở TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HÓA NĂM 2016
 1 A.MỞ ĐẦU
 Hiện nay, chúng ta đang tiến hành đổi mới giáo dục phổ thông. Mục tiêu của 
các cấp học đều hướng đến việc hình thành năng lực nhận thức, năng lực hành 
động, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực thích ứng cho học sinh, phát huy tính 
tích cực, chủ động, độc lập sáng tạo trong nhận thức của người học, bồi dưỡng 
năng lực tự học, gắn học với hành, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng 
thú học tập cho học sinh.
 Trong môn Toán ở trường phổ thông các bài toán về chứng minh bất đẳng 
thức, giải phương trình và bất phương trình đại số ngày càng được quan tâm đúng 
mức và có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vào vẻ đẹp, tính độc đáo của các phương 
pháp giải chúng. Bài tập về bất đẳng thức, phương trình và bất phương trình đại số 
rất phong phú và đa dạng cả về nội dung và phương pháp giải. 
 Để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình và bất phương trình đại số 
có thể xuất phát từ nhiều kiến thức khác nhau và giải bằng nhiều phương pháp khác 
nhau, trong đó có phương pháp sử dụng tọa độ trong hình học để chứng minh bất 
đẳng thức, giải phương trình và bất phương trình đại số. Với mục đích thay đổi 
hình thức của bài toán đại số thông thường thành bài toán sử dụng tọa độ hình học 
để giải. Phương pháp này tuy không phải là chiếc chìa khoá vạn năng để có thể giải 
được cho mọi bài toán về chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình và bất 
phương trình đại số và chưa chắc phương pháp này đã là phương pháp thích hợp 
nhất nhưng nó lại có nét lý thú và độc đáo riêng của nó, giúp học sinh thấy được sự 
liên hệ mật thiết, qua lại giữa các phân môn của môn Toán với nhau. Đó là nội 
dung mà tôi muốn đề cập đến trong phạm vi của sáng kiến kinh nghiệm này: 
“Hướng dẫn học sinh sử dụng tọa độ trong hình học phẳng để chứng minh một 
số bất đẳng thức, giải một số phương trình và bất phương trình đại số nhằm 
nâng cao chất lượng đối với học sinh lớp 10 ở trường THPT”.
 3 2 2
 + AB (xB xA ) (yB yA )
 + Cho 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn  có |AC   – AB| BC AC + AB (*). 
Dấu “=” xảy ra trong AC AB BC A B , A C cùng hướng.
       
Dấu “=” xảy ra trong BC AC AB A B , A C ngược hướng.
       
 Suy ra, dấu “=” trong (*) xảy ra khi A B , A C luôn cùng phương.
 Như vậy ta chọn A, B, C có tọa độ thích hợp và dĩ nhiên liên quan đến bất 
đẳng thức, chứng minh rồi sử dụng các bất đẳng thức trên suy ra kết quả.
 • Bất đẳng thức véc tơ:
 Cho u a;b ,v x; y khác véc tơ không. Khi đó:
 a k.x
 + u , v cùng hướng u kv,k 0 , k 0 .
 b ky
 a k.x
 u , v ngược hướng u kv,k 0 , k 0 .
 b ky
   
 + | u | | v | u v u v 
 Bất đẳng thức u v u v luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi u v và u , v
ngược hướng. 
 Dấu “=” trong bất đẳng thức u v u v xảy ra u , v cùng hướng.
 u.v ax by
 + cos(u, v) . 
 u . v a 2 b 2 . x 2 y 2
 |ax by |
Do cos(u,v) 1 1
 a2 b2 . x2 y2
 | ax by | a 2 b 2 . x 2 y 2 (*)
 Bất đẳng thức (*) gọi là bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
 (*) a 2 b 2 . x 2 y 2 ax by a 2 b 2 . x 2 y 2
Trong đó: 
 5 b 3b c 3c 
 ;
Xét tọa độ 3 điểm A(a; 0), B ,C ; . Ta có:
 2 2 2 2 
 2 2
 b 3b 2 2
 AB a a ab b
 2 2 
 2 2
 c 3c 2 2
 AC a a ac c
 2 2 
 2 2
 c b 3c 3b 2 2
 BC b bc c
 2 2 2 2 
Từ BC AB + AC suy ra: 
 a2 ab b2 a2 ac c2 b2 bc c2 (đpcm).
Bài toán 2. Cho a > c > 0 và b > c > 0. Chứng minh:
 c(a c) c(b c) ab
Giải. Xét 2 véc tơ u c; b c ,v a c; c 
Khi đó: 
 u.v c. a c b c. c
 cos u,v 
 u .v c a c. b c c
 c. (a c) (b c). c c(a c) c(b c)
 a. b ab
 c(a c) c(b c)
Mà cos u,v 1 1
 ab
 c(a c) c(b c) ab 
 c(a c) c(b c) ab (đpcm).
Dấu “=” xảy ra khi u , v cùng hướng 
 c. c a c. b c ab ac bc .
 7 2 2
 1 3 2
 AB x x x 1
 2 2 
 2 2
 1 3 2
 AC x x x 1
 2 2 
 2 2
 1 1 3 3 
 BC 1
 2 2 2 2 
Sử dụng bất đẳng thức AB AC BC suy ra:
 2 2
 x x 1 x x 1 1
 2 2
 1 x x 1 x x 1 1
   
Dấu “=” xảy ra khi AB, AC cùng phương, tức là 
 1 3 1 3 1 1
 x x (vô lí)
 2 2 2 2 2 2
Do đó dấu “=” không xảy ra. Vậy 1 x2 x 1 x2 x 1 1 (đpcm)
Bài toán 5. Chứng minh x  1;3 ta luôn có:
 10 4 3 x 3 x 1 10
Giải. Tập xác định D  1;3
Xét hai véc tơ: u 4; 3 ,v 3 x; x 1 
Khi đó: 
 u.v 4. 3 x 3. x 1
 cos u,v 
 u .v 42 32 . 3 x x 1 
 4. 3 x 3. x 1
 10
 4. 3 x 3. x 1
Mà cos u,v 1 1 10 4 3 x 3 x 1 10
 10
Dấu “=” trong 10 4 3 x 3 x 1 xảy ra khi u,v ngược hướng,
 9 Xét 3 điểm A 2;1 , B 5;5 ,C x;0 . Khi đó:
 AC x 2 2 1 2 x2 4x 5
 2 2 2
 BC x 5 5 x 10x 50
 AB 5 2 2 5 1 2 25 5
Ta luôn có: AC BC AB
 2 2
 x 4x 5 x 10x 50 5
   
Dấu “=” xảy ra khi AC, BC cùng hướng, tức là 
 x 2 k.(x 5) 5
 , k 0 (x 2)( 5) ( 1)(x 5) x 
 1 k.( 5) 4
 5
Từ đó suy ra, phương trình có nghiệm x .
 4
Bài toán 3. Giải phương trình: 
 x2 2x 5 x2 2x 10 29
Giải. Tập xác định D R
Biến đổi phương trình
 x2 2x 5 x2 2x 10 29
 x 1 2 22 x 1 2 32 29
 x 1 2 22 x 1 2 32 29
 u x 1;2 
Xét các véc tơ: u v 2;5 
 v x 1;3 
Khi đó:
 u x 1 2 22
 2 2 2 2
 u v x 1 2 x 1 3 VT
 2 2 
 v x 1 3 
 u v 29 VP
 2 2 
 u v 2 5 29
 11 x x 1 3 x x x 1 1. 3 x
 1 1
 2 x2 1 x2 1. (x 1) (3 x)
 u x;1 
Xét các véc tơ: 
 v x 1; 3 x
  
 u.v x x 1 3 x x x 1 3 x
 cos u,v 
 u . v x2 1. x 1 3 x 2 x2 1
Khi đó: 
 x x 1 3 x
 cos u,v 1 1
 2 x2 1
 x x 1 3 x
Mặt khác, cos u,v 1 1
 2 x2 1
Dấu “=” xảy ra khi u,v cùng hướng, tức là
 x k x 1. x 0
 , k 0 x 3 x x 1 2
 1 k. 3 x x 3 x x 1
 x 0 x 1
 2 
 x 1 x 2x 1 0 x 1 2
 x 1
Từ đó suy ra, phương trình có nghiệm .
 x 1 2
Bài toán 6. Tìm tập nghiệm của phương trình:
 x2 4y2 6x 9 x2 4y2 2x 12y 10 5
Giải. Tập xác định D R
Biến đổi phương trình
 x 3 2 2y 2 1 x 2 3 2y 2 5
 u x 3;2y 
Xét các véc tơ: u v 4;3 
 v 1 x;3 2y 
 13 Khi đó, ta luôn có: u v u v
 2 2
 1 1 3
 x x 2
 2 2 4
 x 2 x 1 x 2 x 1 2
Suy ra: x 2 x 1 x 2 x 1 1 x R 
Vậy bất phương trình (1) có nghiệm với x R
Bài toán 2. Giải bất phương trình 
 2 x 3 2 2x 2 x 1 x 3 (1)
Giải. Điều kiện: x 1
Bất phương trình (1) 2 x 3 2 x 1 x 1 x 3
 2
 12 12 x 3 2 x 1 x 1 x 3
 x 1 x 3
 1 (2)
 2
 12 12 x 3 2 x 1 
 2
 2
 u x 3; x 1 u x 3 x 1 
Xét các véc tơ: 
 v 1;1 v 12 12 2
Ta luôn có :
 u.v x 1 x 3
 cos u,v 
 u v 12 12 x 3 2 x 1 
 x 1 x 3
Mà cos u,v 1 1 (3)
 12 12 x 3 2 x 1 
Từ (2) và (3) suy ra, bất phương trình (1) có nghiệm khi bất đẳng thức (3) xảy ra 
dấu “=” hay hai véc tơ u,v cùng hướng, tức là
 x 3
 x 3 x 1 2 x 5
 x 7x 10 0
 Vậy bất phương trình (1) có nghiệm x = 5.
Bài toán 3. Giải bất phương trình:
 9x 2 12x 13 4x 2 4x 2 x 2 2x 5 (1)
Giải. Tập xác định D R
 15